Vandaag (31 oktober 2011) leven er op aarde officieel 7 miljard mensen. Bekijk de onderstaande bijdrage van de NOS. Kan je een wiskundige (exponentiële) functie bedenken die de bevolkingsaangroei beschrijft van 1800 tot 2050?
Zou je de gehele wereldbevolking op het grondgebied van West-Vlaanderen kunnen plaatsen?
We rekenen dit even na. De oppervlakte van West-Vlaanderen bedraagt 3 125 km² = 3 125 000 000 m². Als we 3 personen op elke vierkante meter zouden plaatsen, dan is er op West-Vlaamse bodem plaats voor 9 375 000 000 mensen. In het jaar 2050 zal de wereldbevolking volgens de voorspellingen 9 miljard mensen bedragen. Ook dan nog zullen we iedereen een plaatsje kunnen geven in onze provincie!
Erebegeleider Walter De Volder blijft me af en toe verrassen met een spitsvondige wiskundige opmerking of een leuke vondst.
Deze week stuurde hij me een mooie denkoefening door over breuken op het niveau van het vierde jaar secundair onderwijs (voor leerlingen die vertrouwd zijn met rekenkundige rijen).
Opgave. Vorm de rij breuken met in de teller de som van de eerste n oneven getallen en in de noemer de som van de volgende n oneven getallen:
Blijkbaar gaat het hier om een constante rij waarin elke term gelijk is aan 1/3.
Verklaring. De teller van de n-de breuk = 1 + 3 + ... + (2n-1) = n². De noemer van de n-de breuk = (2n+1) + (2n+3) + ... + (4n-1) = 3n². Om deze twee sommen te berekenen volstaat het telkens de formule toe te passen voor de n-de partieelsom van een rekenkundige rij (met verschil gelijk aan 2).
Nog een leuke denkoefening: hoe kan je door de cijfers 5, 5, 5 en 1 elk één keer te gebruiken en door enkel de hoofdbewerkingen +, -, x en : toe te passen als uitkomst 24 bekomen?
De oplossing zit in bijlage (eerst zelf proberen!)
Bloemenraadsel De onderstaande cijfercode verbergt de naam van een bloem: 7 - 33 - 8 - 88 - 66 - 444 - 2. Over welke bloem gaat het? Hint. Haal jouw Gsm-toestel er even bij
En dat bloemen o.a. door hun symmetrische bouw wiskundigen kunnen intrigeren kan je op het onderstaande videofragment zelf verifiëren.
Je vindt er als wiskundeleraar heel wat uitdagende, leuke en bruikbare tips voor de lespraktijk. En zoals de titel laat vermoeden, komen ook mensen zonder wiskundeknobbel hier aan hun trekken.
Hoe kun je het getal pi benaderen met tandenstokers? Hoe rekenden de Babyloniërs? Zijn er wel normale getallen? Hoeveel is een triljoen eigenlijk? Hoe bereken je de ware liefde? Wat is het vermoeden van Kepler? En wat is binair rekenen eigenlijk?
Lees en leer alles over veelvlakken, getallen, kansrekenen, codes en grafen, logica, meetkunde, getaltheorie en rekenkunde. Vol kleurige illustraties en met een heleboel tips, knutselprojecten, puzzels en 'vallende sterren'.
Op dinsdag 25 oktober 2011 had ik het geluk via videoconferentie te kunnen meegenieten van de lezing die Stephen Hawking in Leuven kwam geven over 'The origin of the universe'.
Hawking is een van de meest briljante natuurkundigen van deze tijd en specialist in theorieën over het ontstaan van het heelal. Hij verbleef van 24 tot 26 oktober in Leuven om samen met James Hartle (Universiteit van Californië) en Thomas Hertog (Instituut voor Theoretische Fysica, K.U.Leuven) de laatste hand te leggen aan een paper over een nieuwe methode om op basis van de zogenaamde snaartheorie de evolutie van het heelal te beschrijven.
Verwacht wordt dat een consistente natuurkundige kosmologie gebaseerd op de snaartheorie zal bijdragen tot een beter begrip van enkele van de meest fundamentele vragen over het heelal: waar komen we vandaan en waarom zijn we hier?
Ik had het geluk Justine te mogen 'onderdompelen' in het bad van de elementaire wiskundekennis over afgeleiden, matrices, logaritmen, goniometrie ...
Zij was een voorbeeldige studente in de afdeling Latijn-wiskunde van de Kortrijkse Pleinschool en behaalde zowel op het vlak van rekenvaardigheid als van taalvaardigheid hoge scores.
Dat dit niet per definitie voor elke toekomstige miss waar is, leer je uit het onderstaande videofragment.
Hermann Ebbinghaus was een Duits psycholoog (1850-1909) en de bedenker van de zogenaamde vergeetcurve.
Volgens deze curve blijkt dat men na 20 minuten nog ongeveer 58 % heeft onthouden van wat men heeft geleerd. Na 9 uur heeft men al meer dan 60 % van het aangeleerde vergeten en na 1 dag beklijft nog slechts één derde van het aangeleerde.
Vandaar een pleidooi om jouw leerlingen dagelijks (minstens) 10 minuten bezig te laten zijn met de aangeleerde leerstof van wiskunde! Laat hen ook eens een opdracht uitvoeren over een stukje leerstof dat eerder aan bod kwam. Of plan een korte 'opfristoets' over een hoofdstukje van enkele weken gelden.
USolv-IT Leerling is het ideale oefenplatform voor leerlingen van het secundair onderwijs. De USolv-IT Leerling interface is vrij toegankelijk, zonder login of paswoord. Leerlingen kunnen dus ten allen tijde vrij oefenen.
De Grieken kenden reeds een constructiemethode om met behulp van een passer en een liniaal een willekeurige hoek in twee gelijke hoekjes te verdelen.
Ongetwijfeld heb jij deze constructie zelf nog uitgevoerd. Hieronder zie je hoe dit in zijn werk gaat.
De trisectie (of het in drie gelijke
hoekjes verdelen) van een willekeurige hoek bleek een onoplosbaar probleem te
zijn.
Ondertussen heeft men bewezen dat dit in het algemeen met behulp van een passer
en een liniaal niet mogelijk is.
Creatieve wiskundigen hebben echter in de 19de eeuw een soort 'tomahawk'
ontworpen
waarmee men de trisectie toch in het algemeen kan uitvoeren.
Hieronder staat zo een tomahawk
afgebeeld (lichtblauwe figuur - bron: http://mathworld.wolfram.com/Tomahawk.html ) .
Dit toestelletje kan je zelf maken in karton.
Rechts bemerk je een halve cirkelschijf met middelpunt T en diameter [SU].
Het lijnstuk [RU] is in drie gelijke delen verdeeld : |RS| = |ST| = |TU|. Let er ook op dat [SV] een
recht lijnstuk is.
Hoe kan je nu hiermee de hoek met hoekpunt B en benen [BA en [BC in drie gelijke delen verdelen? 1. Plaats de tomahawk zo op de figuur dat het hoekpunt B op het lijnstuk [SV] ligt. 2. Zorg ervoor dat het punt R op het been [BA ligt. 3. Zorg ervoor dat het been [BC raakt aan de halve cirkel die een onderdeel is van tomahawk.
Je kunt dan gemakkelijk nagaan dat Δ BSR , Δ BST en Δ BDT congruente rechthoekige driehoeken zijn. Hieruit volgt dan meteen dat de drie hoekjes met hoekpunt B even groot zijn!
De Bond Zonder Naam lanceert elke maand opnieuw een spreuk die een beetje tot nadenken stemt.
De bovenstaande spreuk voor de maand september is een leuk doordenkertje voor leerkrachten (en leerlingen!)
Vaak horen we leraren de bedenking maken dat hun leerlingen er moeilijk in slagen iets bij te leren. Je kunt je hierbij de vraag stellen welke vorm van leren het meest beklijvend resultaat oplevert. Het staat wetenschappelijk vast dat je het minste rendement krijgt wanneer de leerlingen alleen maar moeten luisteren of lezen. Daartegenover staat dat je het meest leert als je iets in je eigen woorden mag uitleggen aan anderen. In dit verband verwijzen we graag naar de leerpiramide van Bales, waarin naast een aantal instructiemethoden telkens het leerrendement wordt vermeld:
Op www.leercoach.be kan je in elk geval enkele tips vinden om jouw leerlingen beter te leren leren.
En vergeet niet dat je als leraar ook voor de grote uitdaging staat om jouw leerlingen voldoende zelfvertrouwen, motivatie en leerplezier te bezorgen.
1, 4, 9, 16, 25, ... is de rij van de kwadraatgetallen (kwadraten van de gehele getallen).
Maar wist je dat ...
42 = 24 = 16 en hiermee is 16 wellicht het merkwaardigste kwadraatgetal.
4 1 = 3 en 9 4 = 5 en 16 9 = 7 en 25 16 = 9 ... Het verschil tussen twee opeenvolgende kwadraatgetallen is dus steeds een oneven getal. Bovendien is elk oneven natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 3 het verschil van twee kwadraatgetallen: 2n + 1 = (n + 1)² n².
Bekijk de rij 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8. Hierin staan alle gehele getallen van 1 tot en met 16 zodanig gerangschikt dat de som van elke twee opeenvolgende getallen een kwadraatgetal is: 16 + 9 = 5², 9 + 7 = 4², 7 + 2 = 3² enzovoort ...
1 + 2 = 3 4 + 5 + 6 = 7 + 8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 en zo kan je eindeloos doorgaan ... Merk op dat elke lijn begint met een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 ...).
En ook het getal pi ontsnapt niet aan de kwadraatgetallen (formule van Euler):
Blad-steen-schaar is een spel voor twee spelers. Beide spelers steken tegelijk en op een afgesproken moment een vlakke hand (blad papier) een gebalde vuist (steen) of twee gespreide vingers (schaar) uit.
BLAD wint van STEEN (de steen wordt verpakt in papier) STEEN wint van SCHAAR (de schaar wordt bot op een steen) SCHAAR wint van BLAD (de schaar knipt door het papier).
Wanneer beide spelers tegelijk dezelfde keuze maken, scoren ze allebei een punt.
Het spel wordt een oneven aantal keer (vooraf af te spreken) gespeeld. Wie de meeste punten scoort, wint het spel.
Een regelmatig veelvlak is een ruimtelijke figuur waarvan alle zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn en waarbij in elk hoekpunt even veel ribben samenkomen. Men noemt ze ook 'de Platonische lichamen'
In de onderstaande tabel staat wat concrete informatie over hoe elk regelmatig veelvlak er uit ziet en je vindt er ook een formule voor de oppervlakte en de inhoud.
Naam
Tetraëder
Hexaëder
Octaëder
Dodecaëder
Icosaëder
zijvlakken
4
6
8
12
20
ribben
6
12
12
30
30
hoekpunten
4
8
6
20
12
{aantal ribben per zijvlak, aantal zijvlakken in elk hoekpunt}
Waarom zijn er maar 5 regelmatige veelvlakken mogelijk? Dit wisten de Oude Grieken al!
Verklaring.
De som van de hoeken van de regelmatige veelhoeken die in elk hoekpunt
samenkomen, moet kleiner zijn dan 360°
(anders zou je de bouwplaat niet kunnen vouwen).
In elk hoekpunt komen ook minstens drie zijvlakken samen (anders zou je geen
ruimtelijke figuur hebben).
Nu weten de dat
- elk van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek 60° is. Er kunnen dus
3, 4 of 5 gelijkzijdige driehoeken in een hoekpunt samen komen;
- elk van de hoeken van een vierkant 90° is. Er kunnen dus enkel 3 vierkanten
in een hoekpunt samenkomen;
- elk van de hoeken van een regelmatige vijfhoek 108° is. Er kunnen dus enkel 3
regelmatige vijfhoeken in een hoekpunt samenkomen;
- elk van de hoeken van een regelmatige zeshoek 120° is. Er zouden dus enkel 2
van die zeshoeken in een hoekpunt kunnen samenkomen.
Een analoge redenering geldt
voor alle andere regelmatige n-hoeken (n > 6).
Tenslotte schotelen we je nog een leuke oefening voor. Als je de middens van de 6 zijvlakken van een kubus verbindt, bekom je een regelmatig achtvlak dat in die kubus zit. Kan je de verhouding van de oppervlakten en van de inhouden van beide figuren berekenen?
Dat onze zintuigen ons vaak bedriegen, wist je wellicht al? Dat omgevingsfactoren ons kunnen afleiden, wist je meer dan waarschijnlijk ook al?
De schaakbord-schaduw-illusie die Prof. Edward H. Adelson in 1995 publiceerde, illustreert dit op een treffende wijze. Dit is meteen ook mijn favoriete optische illusie.
Op het onderstaande schaakbord (links) zijn twee vakjes aangeduid (met de letters A en B). Kan je geloven dat de beide vakjes dezelfde kleur hebben? Wanneer men tussen beide vakjes een brugje legt in dezelfde kleur wordt dit ongetwijfeld duidelijk (rechtse figuur).
Wie nog twijfels heeft, kan de linkse figuur kopiëren naar 'paint' en dan een stukje uit de vakjes A en B knippen om ze zo met elkaar te vergelijken. (Bron: wikipedia)
Hier zie je een sierlijk draaiende ballerina. Hoe zie je haar draaien: volgens de richting van de wijzers van een klok of in tegenwijzerzin?
Volgens een wetenschappelijke studie is de manier waarop jij de dame ziet draaien een duidelijke aanwijzing van welke hersenhelft je op dat ogenblik gebruikt.
Zie je de dame in wijzerzin draaien, dan gebruik je DE RECHTERHERSENHELFT (verband met gevoelens, verbeelding, symbolen en afbeeldingen, bereidheid om risico's te nemen ...).
Zie je haar in tegenwijzerzin draaien, dan gebruik je DE LINKERHERSENHELFT (verband met logica, wiskunde en wetenschappen, praktische ingesteldheid ...).
Naar het schijnt slagen hoogbegaafde mensen er gemakkelijk in de dame in beide richtingen te zien draaien.
Volgens het woordenboek van Van Dale is een kokinje een snoepje van gesmolten geraffineerde witte suiker dat de vorm heeft van een kussentje.
Het wordt ook wel 'brok' of 'babbelaar' genoemd.
Op http://www.pandd.demon.nl/rhino/kokinje.htm vonden we een correcte wiskundige beschrijving van dit snoepje, waarvan Archimedes (287 212 v.Chr.) reeds de inhoud wist te berekenen.
Deze driedimensionale figuur wordt ook wel het lichaam van Steinmetz of de bicilindersector genoemd.
Op de animatie hieronder zie je hoe de kokinje ontstaat als doorsnede van twee cilinders.
In de bijlage vind je dan de berekening van de inhoud en de oppervlakte van de kokinje.
Het vermoeden van Collatz en de conjectuur van Goldbach
Lothar Collatz (1910-1990) was Duitse wiskundige die een heel eenvoudig probleem de wereld instuurde, dat tot op heden onopgelost is.
Dat probleem luidt als volgt:
Kies een willekeurig positief geheel getal. Als dit getal even is, deel je het door twee. Als het oneven is vermenigvuldig je het getal met drie en tel je er één bij.
Op die manier ontstaat een rij getallen. Collatz sprak het vermoeden uit dat deze rij altijd zal eindigen op 1.
Voorbeelden. Met startwaarde 13 krijg je het volgende rijtje: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Met startwaarde 7 krijg je een iets langere rij: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Een dergelijk vermoeden in de wiskunde wordt een conjectuur genoemd.
Met het onderstaande programma kan je op jouw grafische rekenmachine (TI-83/84) nagaan dat de Collatz-rij steeds op 1 eindigt, onafhankelijk van het startgetal. De rij zelf kan je na het uitvoeren van het programma bekijken in lijst L1.
Een andere beroemd onopgelost probleem is de Goldbach-conjectuur die stelt dat elk even natuurlijk getal groter dan 2 minstens op één manier kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.
Wat is het verband tussen Wernher Von
Braun (ontwerper van de Duitse V2-raketten en vader van de ruimtevaart),
de Boeing 707, de Empire State Building, de Golden-Gatebrug en Einstein?
Wie voor 1970 ingewikkeld rekenwerk
moest uitvoeren,
waarin producten, quotiënten en wortelvormen moesten berekend worden,
deed dit meestal met een rekenliniaal.
Dit instrument mag je dus terecht als
de voorloper van het rekentoestel beschouwen.
Vooral ingenieurs maakten fequent
gebruik van een rekenliniaal en realisaties zoals de V2-raketten, de Boeing
707, de Golden-Gatebrug,
de Empire State building en zelfs
transistorradio's zouden niet mogelijk geweest zonder het gebruik van een
rekenliniaal.
Het is een gekend feit dat Einstein
er vlot mee kon werken.
Een rekenliniaal bestaat in principe uit twee schuivende delen en het rekenen is gebaseerd op logaritmen, een uitvinding van de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617).
Zo is bijvoorbeeld log a + log b = log ab, zodat men in feite twee getallen kan vermenigvuldigen door hun logaritme bij elkaar op te tellen.
Hieronder staat op een eenvoudig voorbeeld afgebeeld hoe men met een rekenliniaal kan aantonen dat 2 x 3 = 6 is.
Het was uiteraard wel de bedoeling met een rekenliniaal ingewikkelder berekeningen dan 2 x 3 uit te voeren!
Op beide schuifdelen staan niet de
getallen 1, 2, 3 ... afgebeeld, maar hun logaritmen.
Het bovenste schuifdeel heeft men dus verschoven zodat log 1 (= 0) net boven
log 3 komt.
Onder log 2 (op het bovenste schuifdeel) leest men dan precies log 6 af
(op het onderste schuifdeel), want log 2 + log 3 = log 6.
Omdat dit instrument steunt op de
eigenschappen van logaritmen, is het in feite niet direct geschikt
om sommen en verschillen van getallen te berekenen.
De vroegste versie van een rekenliniaal met schuivende delen is in 1621
uitgevonden door de Engelse wiskundige en priester William Oughtred.
Pas rond 1870 werd het toestel
'populair' toen het Franse leger het gebruikte om projectiebanen te berekenen
tijdens de oorlog die ze toen voerden tegen de Pruisen.
BLAD wint van STEEN 
