Je vindt er als wiskundeleraar heel wat uitdagende, leuke en bruikbare tips voor de lespraktijk. En zoals de titel laat vermoeden, komen ook mensen zonder wiskundeknobbel hier aan hun trekken.
Hoe kun je het getal pi benaderen met tandenstokers? Hoe rekenden de Babyloniërs? Zijn er wel normale getallen? Hoeveel is een triljoen eigenlijk? Hoe bereken je de ware liefde? Wat is het vermoeden van Kepler? En wat is binair rekenen eigenlijk?
Lees en leer alles over veelvlakken, getallen, kansrekenen, codes en grafen, logica, meetkunde, getaltheorie en rekenkunde. Vol kleurige illustraties en met een heleboel tips, knutselprojecten, puzzels en 'vallende sterren'.
Op dinsdag 25 oktober 2011 had ik het geluk via videoconferentie te kunnen meegenieten van de lezing die Stephen Hawking in Leuven kwam geven over 'The origin of the universe'.
Hawking is een van de meest briljante natuurkundigen van deze tijd en specialist in theorieën over het ontstaan van het heelal. Hij verbleef van 24 tot 26 oktober in Leuven om samen met James Hartle (Universiteit van Californië) en Thomas Hertog (Instituut voor Theoretische Fysica, K.U.Leuven) de laatste hand te leggen aan een paper over een nieuwe methode om op basis van de zogenaamde snaartheorie de evolutie van het heelal te beschrijven.
Verwacht wordt dat een consistente natuurkundige kosmologie gebaseerd op de snaartheorie zal bijdragen tot een beter begrip van enkele van de meest fundamentele vragen over het heelal: waar komen we vandaan en waarom zijn we hier?
Ik had het geluk Justine te mogen 'onderdompelen' in het bad van de elementaire wiskundekennis over afgeleiden, matrices, logaritmen, goniometrie ...
Zij was een voorbeeldige studente in de afdeling Latijn-wiskunde van de Kortrijkse Pleinschool en behaalde zowel op het vlak van rekenvaardigheid als van taalvaardigheid hoge scores.
Dat dit niet per definitie voor elke toekomstige miss waar is, leer je uit het onderstaande videofragment.
Hermann Ebbinghaus was een Duits psycholoog (1850-1909) en de bedenker van de zogenaamde vergeetcurve.
Volgens deze curve blijkt dat men na 20 minuten nog ongeveer 58 % heeft onthouden van wat men heeft geleerd. Na 9 uur heeft men al meer dan 60 % van het aangeleerde vergeten en na 1 dag beklijft nog slechts één derde van het aangeleerde.
Vandaar een pleidooi om jouw leerlingen dagelijks (minstens) 10 minuten bezig te laten zijn met de aangeleerde leerstof van wiskunde! Laat hen ook eens een opdracht uitvoeren over een stukje leerstof dat eerder aan bod kwam. Of plan een korte 'opfristoets' over een hoofdstukje van enkele weken gelden.
USolv-IT Leerling is het ideale oefenplatform voor leerlingen van het secundair onderwijs. De USolv-IT Leerling interface is vrij toegankelijk, zonder login of paswoord. Leerlingen kunnen dus ten allen tijde vrij oefenen.
De Grieken kenden reeds een constructiemethode om met behulp van een passer en een liniaal een willekeurige hoek in twee gelijke hoekjes te verdelen.
Ongetwijfeld heb jij deze constructie zelf nog uitgevoerd. Hieronder zie je hoe dit in zijn werk gaat.
De trisectie (of het in drie gelijke
hoekjes verdelen) van een willekeurige hoek bleek een onoplosbaar probleem te
zijn.
Ondertussen heeft men bewezen dat dit in het algemeen met behulp van een passer
en een liniaal niet mogelijk is.
Creatieve wiskundigen hebben echter in de 19de eeuw een soort 'tomahawk'
ontworpen
waarmee men de trisectie toch in het algemeen kan uitvoeren.
Hieronder staat zo een tomahawk
afgebeeld (lichtblauwe figuur - bron: http://mathworld.wolfram.com/Tomahawk.html ) .
Dit toestelletje kan je zelf maken in karton.
Rechts bemerk je een halve cirkelschijf met middelpunt T en diameter [SU].
Het lijnstuk [RU] is in drie gelijke delen verdeeld : |RS| = |ST| = |TU|. Let er ook op dat [SV] een
recht lijnstuk is.
Hoe kan je nu hiermee de hoek met hoekpunt B en benen [BA en [BC in drie gelijke delen verdelen? 1. Plaats de tomahawk zo op de figuur dat het hoekpunt B op het lijnstuk [SV] ligt. 2. Zorg ervoor dat het punt R op het been [BA ligt. 3. Zorg ervoor dat het been [BC raakt aan de halve cirkel die een onderdeel is van tomahawk.
Je kunt dan gemakkelijk nagaan dat Δ BSR , Δ BST en Δ BDT congruente rechthoekige driehoeken zijn. Hieruit volgt dan meteen dat de drie hoekjes met hoekpunt B even groot zijn!
De Bond Zonder Naam lanceert elke maand opnieuw een spreuk die een beetje tot nadenken stemt.
De bovenstaande spreuk voor de maand september is een leuk doordenkertje voor leerkrachten (en leerlingen!)
Vaak horen we leraren de bedenking maken dat hun leerlingen er moeilijk in slagen iets bij te leren. Je kunt je hierbij de vraag stellen welke vorm van leren het meest beklijvend resultaat oplevert. Het staat wetenschappelijk vast dat je het minste rendement krijgt wanneer de leerlingen alleen maar moeten luisteren of lezen. Daartegenover staat dat je het meest leert als je iets in je eigen woorden mag uitleggen aan anderen. In dit verband verwijzen we graag naar de leerpiramide van Bales, waarin naast een aantal instructiemethoden telkens het leerrendement wordt vermeld:
Op www.leercoach.be kan je in elk geval enkele tips vinden om jouw leerlingen beter te leren leren.
En vergeet niet dat je als leraar ook voor de grote uitdaging staat om jouw leerlingen voldoende zelfvertrouwen, motivatie en leerplezier te bezorgen.
1, 4, 9, 16, 25, ... is de rij van de kwadraatgetallen (kwadraten van de gehele getallen).
Maar wist je dat ...
42 = 24 = 16 en hiermee is 16 wellicht het merkwaardigste kwadraatgetal.
4 1 = 3 en 9 4 = 5 en 16 9 = 7 en 25 16 = 9 ... Het verschil tussen twee opeenvolgende kwadraatgetallen is dus steeds een oneven getal. Bovendien is elk oneven natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 3 het verschil van twee kwadraatgetallen: 2n + 1 = (n + 1)² n².
Bekijk de rij 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8. Hierin staan alle gehele getallen van 1 tot en met 16 zodanig gerangschikt dat de som van elke twee opeenvolgende getallen een kwadraatgetal is: 16 + 9 = 5², 9 + 7 = 4², 7 + 2 = 3² enzovoort ...
1 + 2 = 3 4 + 5 + 6 = 7 + 8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 en zo kan je eindeloos doorgaan ... Merk op dat elke lijn begint met een kwadraatgetal (1, 4, 9, 16 ...).
En ook het getal pi ontsnapt niet aan de kwadraatgetallen (formule van Euler):
Blad-steen-schaar is een spel voor twee spelers. Beide spelers steken tegelijk en op een afgesproken moment een vlakke hand (blad papier) een gebalde vuist (steen) of twee gespreide vingers (schaar) uit.
BLAD wint van STEEN (de steen wordt verpakt in papier) STEEN wint van SCHAAR (de schaar wordt bot op een steen) SCHAAR wint van BLAD (de schaar knipt door het papier).
Wanneer beide spelers tegelijk dezelfde keuze maken, scoren ze allebei een punt.
Het spel wordt een oneven aantal keer (vooraf af te spreken) gespeeld. Wie de meeste punten scoort, wint het spel.
Een regelmatig veelvlak is een ruimtelijke figuur waarvan alle zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn en waarbij in elk hoekpunt even veel ribben samenkomen. Men noemt ze ook 'de Platonische lichamen'
In de onderstaande tabel staat wat concrete informatie over hoe elk regelmatig veelvlak er uit ziet en je vindt er ook een formule voor de oppervlakte en de inhoud.
Naam
Tetraëder
Hexaëder
Octaëder
Dodecaëder
Icosaëder
zijvlakken
4
6
8
12
20
ribben
6
12
12
30
30
hoekpunten
4
8
6
20
12
{aantal ribben per zijvlak, aantal zijvlakken in elk hoekpunt}
Waarom zijn er maar 5 regelmatige veelvlakken mogelijk? Dit wisten de Oude Grieken al!
Verklaring.
De som van de hoeken van de regelmatige veelhoeken die in elk hoekpunt
samenkomen, moet kleiner zijn dan 360°
(anders zou je de bouwplaat niet kunnen vouwen).
In elk hoekpunt komen ook minstens drie zijvlakken samen (anders zou je geen
ruimtelijke figuur hebben).
Nu weten de dat
- elk van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek 60° is. Er kunnen dus
3, 4 of 5 gelijkzijdige driehoeken in een hoekpunt samen komen;
- elk van de hoeken van een vierkant 90° is. Er kunnen dus enkel 3 vierkanten
in een hoekpunt samenkomen;
- elk van de hoeken van een regelmatige vijfhoek 108° is. Er kunnen dus enkel 3
regelmatige vijfhoeken in een hoekpunt samenkomen;
- elk van de hoeken van een regelmatige zeshoek 120° is. Er zouden dus enkel 2
van die zeshoeken in een hoekpunt kunnen samenkomen.
Een analoge redenering geldt
voor alle andere regelmatige n-hoeken (n > 6).
Tenslotte schotelen we je nog een leuke oefening voor. Als je de middens van de 6 zijvlakken van een kubus verbindt, bekom je een regelmatig achtvlak dat in die kubus zit. Kan je de verhouding van de oppervlakten en van de inhouden van beide figuren berekenen?
Dat onze zintuigen ons vaak bedriegen, wist je wellicht al? Dat omgevingsfactoren ons kunnen afleiden, wist je meer dan waarschijnlijk ook al?
De schaakbord-schaduw-illusie die Prof. Edward H. Adelson in 1995 publiceerde, illustreert dit op een treffende wijze. Dit is meteen ook mijn favoriete optische illusie.
Op het onderstaande schaakbord (links) zijn twee vakjes aangeduid (met de letters A en B). Kan je geloven dat de beide vakjes dezelfde kleur hebben? Wanneer men tussen beide vakjes een brugje legt in dezelfde kleur wordt dit ongetwijfeld duidelijk (rechtse figuur).
Wie nog twijfels heeft, kan de linkse figuur kopiëren naar 'paint' en dan een stukje uit de vakjes A en B knippen om ze zo met elkaar te vergelijken. (Bron: wikipedia)
Hier zie je een sierlijk draaiende ballerina. Hoe zie je haar draaien: volgens de richting van de wijzers van een klok of in tegenwijzerzin?
Volgens een wetenschappelijke studie is de manier waarop jij de dame ziet draaien een duidelijke aanwijzing van welke hersenhelft je op dat ogenblik gebruikt.
Zie je de dame in wijzerzin draaien, dan gebruik je DE RECHTERHERSENHELFT (verband met gevoelens, verbeelding, symbolen en afbeeldingen, bereidheid om risico's te nemen ...).
Zie je haar in tegenwijzerzin draaien, dan gebruik je DE LINKERHERSENHELFT (verband met logica, wiskunde en wetenschappen, praktische ingesteldheid ...).
Naar het schijnt slagen hoogbegaafde mensen er gemakkelijk in de dame in beide richtingen te zien draaien.
Volgens het woordenboek van Van Dale is een kokinje een snoepje van gesmolten geraffineerde witte suiker dat de vorm heeft van een kussentje.
Het wordt ook wel 'brok' of 'babbelaar' genoemd.
Op http://www.pandd.demon.nl/rhino/kokinje.htm vonden we een correcte wiskundige beschrijving van dit snoepje, waarvan Archimedes (287 212 v.Chr.) reeds de inhoud wist te berekenen.
Deze driedimensionale figuur wordt ook wel het lichaam van Steinmetz of de bicilindersector genoemd.
Op de animatie hieronder zie je hoe de kokinje ontstaat als doorsnede van twee cilinders.
In de bijlage vind je dan de berekening van de inhoud en de oppervlakte van de kokinje.
Het vermoeden van Collatz en de conjectuur van Goldbach
Lothar Collatz (1910-1990) was Duitse wiskundige die een heel eenvoudig probleem de wereld instuurde, dat tot op heden onopgelost is.
Dat probleem luidt als volgt:
Kies een willekeurig positief geheel getal. Als dit getal even is, deel je het door twee. Als het oneven is vermenigvuldig je het getal met drie en tel je er één bij.
Op die manier ontstaat een rij getallen. Collatz sprak het vermoeden uit dat deze rij altijd zal eindigen op 1.
Voorbeelden. Met startwaarde 13 krijg je het volgende rijtje: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Met startwaarde 7 krijg je een iets langere rij: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Een dergelijk vermoeden in de wiskunde wordt een conjectuur genoemd.
Met het onderstaande programma kan je op jouw grafische rekenmachine (TI-83/84) nagaan dat de Collatz-rij steeds op 1 eindigt, onafhankelijk van het startgetal. De rij zelf kan je na het uitvoeren van het programma bekijken in lijst L1.
Een andere beroemd onopgelost probleem is de Goldbach-conjectuur die stelt dat elk even natuurlijk getal groter dan 2 minstens op één manier kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen.
Wat is het verband tussen Wernher Von
Braun (ontwerper van de Duitse V2-raketten en vader van de ruimtevaart),
de Boeing 707, de Empire State Building, de Golden-Gatebrug en Einstein?
Wie voor 1970 ingewikkeld rekenwerk
moest uitvoeren,
waarin producten, quotiënten en wortelvormen moesten berekend worden,
deed dit meestal met een rekenliniaal.
Dit instrument mag je dus terecht als
de voorloper van het rekentoestel beschouwen.
Vooral ingenieurs maakten fequent
gebruik van een rekenliniaal en realisaties zoals de V2-raketten, de Boeing
707, de Golden-Gatebrug,
de Empire State building en zelfs
transistorradio's zouden niet mogelijk geweest zonder het gebruik van een
rekenliniaal.
Het is een gekend feit dat Einstein
er vlot mee kon werken.
Een rekenliniaal bestaat in principe uit twee schuivende delen en het rekenen is gebaseerd op logaritmen, een uitvinding van de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617).
Zo is bijvoorbeeld log a + log b = log ab, zodat men in feite twee getallen kan vermenigvuldigen door hun logaritme bij elkaar op te tellen.
Hieronder staat op een eenvoudig voorbeeld afgebeeld hoe men met een rekenliniaal kan aantonen dat 2 x 3 = 6 is.
Het was uiteraard wel de bedoeling met een rekenliniaal ingewikkelder berekeningen dan 2 x 3 uit te voeren!
Op beide schuifdelen staan niet de
getallen 1, 2, 3 ... afgebeeld, maar hun logaritmen.
Het bovenste schuifdeel heeft men dus verschoven zodat log 1 (= 0) net boven
log 3 komt.
Onder log 2 (op het bovenste schuifdeel) leest men dan precies log 6 af
(op het onderste schuifdeel), want log 2 + log 3 = log 6.
Omdat dit instrument steunt op de
eigenschappen van logaritmen, is het in feite niet direct geschikt
om sommen en verschillen van getallen te berekenen.
De vroegste versie van een rekenliniaal met schuivende delen is in 1621
uitgevonden door de Engelse wiskundige en priester William Oughtred.
Pas rond 1870 werd het toestel
'populair' toen het Franse leger het gebruikte om projectiebanen te berekenen
tijdens de oorlog die ze toen voerden tegen de Pruisen.
Een cycloïde is de kromme die wordt gedefinieerd door de baan van een punt op de rand van een cirkelvormig wiel als die cirkel over een rechte lijn rolt (zonder glijden).
Als de cirkel een straal r heeft, bekomt men als parametervergelijkingen van de cycloïde (zie bijlage):
x = r(t - sint) y = r(1 - cos t).
De parameter t geeft aan over welke hoek de cirkel vooruitrolt.
Bij één volledige omwenteling van de cirkel varieert t van 0 tot 2π. De lengte van één boog van een cycloïde is gelijk aan 8r (zie bijlage).
In de 17de eeuw zochten wiskundigen naar de kromme die een bijzonder soort 'glijbaan' beschreef. Men stelde zich immers de vraag of er een helling bestond met de eigenschap dat als men er ballen vanop verschillende startposities tegelijk op liet naar beneden rollen, die ballen dan ook tegelijk aan de voet van de helling zouden aankomen ongeacht de positie van waarop men ze losliet.
De Nederlandse wis-, sterrenkundige en natuurkundige Christiaan Huyghens ontdekte in 1659 dat die helling werd beschreven door een 'omgekeerde' cycloïde (zie onderstaand applet - bron wikipedia).
Huyghens wou deze ontdekking gebruiken om een nauwkeuriger slingeruurwerk te ontwerpen en publiceerde zijn ontdekking in 1673 in zijn 'Horologium Oscillatorium' ( = 'Het Slingeruurwerk').
Wegens deze bijzondere eigenschap wordt deze kromme ook de tautochrone of isochrone kromme genoemd (Grieks: τὸ αὐτό, dezelfde, ισος, gelijk en χρονος, tijd).
Deze kromme heeft nog een andere merkwaardige eigenschap. Ze beschrijft ook de helling waarlangs een voorwerp zonder wrijving zich tussen twee punten verplaatst in de kortst mogelijke tijd. Daarom spreekt men ook van de brachistochrone kromme (Grieks: βραχιστος, kortste en χρονος, tijd). Bron: wikipedia.
Collega Ferdinand Develter merkt terecht op dat deze kromme die zorgt voor de snelste daling ook zorgt voor de traagste stijging. Dit vindt o.a. zijn toepassing bij kaaimuren, de boeg van een schip ...
Newton realiseerde zich dat de maan in feite elke seconde en beetje naar de aarde toe valt precies op dezelfde manier als een appel van een boom naar de aarde valt.
Als dit niet zo was dan zou de maan immers in een rechte lijn met een constante snelheid door de ruimte van de aarde wegvliegen.
De kracht die de maan in haar (min of meer) cirkelvormige baan houdt noemde hij de centripetale kracht.
We rekenen eens uit hoeveel de maan per seconde naar de aarde toe valt.
Op deze figuur is r = de gemiddelde afstand van de maan tot de aarde, ongeveer 386 000 km s = de afstand door de maan afgelegd van de aarde weg in 1 seconde d = de afstand die de maan naar de aarde toe valt in 1 seconde.
Wegens de stelling van Pythagoras is r² + s² = (r + d)² of r² + s² = r² + 2rd + d², zodat s² = 2rd + d².
Hierbij is d vrij klein, zodat we het nog veel kleinere d² kunnen verwaarlozen. Dus is d = s²/(2r) . (1)
s is ook heel klein zodat we deze afstand mogen benaderen door de lengte van de cirkelboog die de maan in 1 seconde aflegt, d.w.z.
Met r = 386 000 000 (in meter) vinden we hieruit dat s = 2π x 386 000 000 x 4,1 x 10-7= 1002,5 meter.
Door tenslotte deze waarde in te vullen in (1) vinden we dat d = 0,0013 meter.
Dit betekent dat de maan elke seconde ongeveer 1,3 millimeter naar de aarde toe valt en zo op een min of meer cirkelvormige baan rond de aarde kan blijven rondtoeren.
MAANSVERDUISTERING
Morgenavond woensdag 15 juni 2011 is het voor heel wat amateur-astronomen weer een hoogdag, want dan vindt er een totale maansverduistering plaats.
De maansverduistering start woensdag om 20.23 uur.
Het hemellichaam zit dan echter nog onder de horizon, waardoor de eclips dus nog niet waargenomen kan worden. Anderhalf uur later, om 21.53 uur, komt de maan op in het zuidoosten van de hemel. Ze is dan al volledig verduisterd. Om 22.13 uur is de maansverduistering totaal. Die totale eclips eindigt om 23.03 uur. Om 24 uur zou de maan opnieuw volledig te zien zijn.
De amateurs van leuke powerpointpresentaties moeten maar eens de bijlage openen om zo mee te genieten van 'spelen met de maan'.
Flatland: A Romance of Many Dimensions (Nederlands: Platland: een roman van vele afmetingen) is in 1884 geschreven door Edwin Abbott Abbott, een Engelse schoolmeester en theoloog. Hij probeert de lezer op informele wijze de mogelijkheid (de wiskundige waarschijnlijkheid zelfs) van meerdere dimensies uit te leggen.
Flatland volgt de avonturen van A. Square (Nederlands: Een Vierkant) die op een dag wordt bezocht door een cirkel (die eigenlijk een bol blijkt te zijn die als cirkel verschijnt in Flatland) en die hem uit z'n tweedimensionale wereld tilt en hem meeneemt naar lijnland en puntland om hem duidelijk te maken dat er meer dimensies zijn dan alleen de 2 van Flatland. Als A. Square aan de bol vraagt of er misschien zelfs meer bestaan dan de 3 waar de bol vandaan komt, wordt deze boos en stopt hem weer terug in zijn tweedimensionale wereld.
Dit boekje laat ons meteen nadenken over de mogelijkheid dat er meerdere dimensies bestaan, dan we werkelijk waarnemen. In bijlage vind je de Nederlandse vertaling van Flatland.
Flatland: The Movie is een leuke animatiefilm uit 2007 waardoor het werk van Edwin A. Abbott weer in de belangstelling is gekomen. Hieronder kan je de officiële trailer van deze film bekijken.
Onwillekeurig denk je hierbij ook aan de allegorie van de grot uit de kennisleer van Plato (uit zijn werk Politeia). Hierin beschrijft hij hoe een aantal mensen sedert hun geboorte gevangen zitten in een grot. Tegen de wand van de grot zien de schaduwen geprojecteerd van werkelijke objecten, maar de realiteit zelf kennen en begrijpen ze niet.
Einstein leerde ons al dat we leven in een vierdimensionale tijd-ruimte met de klassieke drie dimensies (lengte, breedte en hoogte) en de tijd als vierde dimensie. De snaartheorie (string theory) gaat er echter van uit dat we leven in een ruimte met misschien wel 10 of 11 dimensies. Onze gezichtsorganen zijn echter onvoldoende ontwikkeld om de immens kleine deeltjes, die ontstaan als trillingen van een snaar, waar te nemen.
Om dit te begrijpen verwijst men vaak naar het beeld van een tuinslang. Als we die vanop een afstand bekijken, hebben we de indruk dat een tuinslang een tweedimensionaal voorwerp is (met een lengte en een kleine breedte), maar voor een mier die erover kruipt is een tuinslang een driedimensionaal voorwerp!
Dimensies staan duidelijk weer in de belangstelling. Dat bleek onlangs nog op de proclamatie van de Vlaamse Wiskunde Olympiade, waarbij de Franse wiskundige Etienne Ghys (Ecole Normale Supérieure, Lyon) o.a. de bekroonde film 'Dimensions' kwam voorstellen. Je kunt de 9 hoofdstukken van deze fascinerende film gratis bekijken op http://www.dimensions-math.org/Dim_NL.htm . Vooral hoofdstuk 2 (over de derde dimensie) en hoofdstuk 3 (over de vierde dimensie) zijn warm aanbevolen.
BLAD wint van STEEN 
