Inhoud blog
  • 30 april 2019
  • 29 april 2019
  • 28 april 2019
  • 27 april 2019
  • 26 april 2019
    Zoeken in blog

    Foto
    Noli turbare circulos meos (Archimedes)


    GNOMON
    Wiskunde zie je!
    24-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wolfram Alpha




    Heb je reeds deze REKEN- en KENNISMACHINE ontdekt?

    Om het antwoord te bepalen op jouw vragen, maakt deze Engelstalige machine gebruik van de software Mathematica.
    Deze antwoordmachine is het geesteskind van de Britse informaticus en natuurkundige Stephen Wolfram.
    De website is officieel geopend op 18 mei 2009.
    In het afgelopen jaar heeft de machine er heel wat praktische mogelijkheden bij gekregen.

     Ga vlug naar http://www.wolframalpha.com/
    en kijk eens bij 'Examples' wat deze machine allemaal voor je kan doen!


     
    Met dank aan Johannes De Gruyter voor deze tip.

    24-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De rij van Fibonacci: jonger dan je denkt

    Fibonacci en de Gulden Snede

     

    Over de rij van Fibonacci kan je heel wat informatie vinden op het internet.
    Deze tekst van Liselotte Snijders en Perry Visser moet je toch zeker gelezen hebben.
    Het was in 2006 een onderzoekopdracht o.l.v. Kees Gondrie.
    Bron: www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde/fibonacci.html

    Vraagstelling en hypothese

    Fibonacci en de Gulden Snede is een heel breed onderwerp en het is onmogelijk om alles te onderzoeken. Daarom hebben we de volgende onderzoeksvragen opgesteld:
    • Wat is de Fibonacci-rij?
    • Wat is de Gulden Snede?
    • Waar vind je de Fibonacci-rij en de Gulden Snede terug in de natuur?

    Theorie

    Fibonacci was een Italiaanse wiskundige die ongeveer van 1120 tot 1250 leefde. De rij die naar hem is genoemd, de Fibonacci-rij, wordt meestal geïntroduceerd via het tellen van konijnenparen.
    We beginnen met één konijnenpaar. We nemen aan dat voor het voortplanten geldt:
    • Elk konijnenpaar krijgt na 1 maand één nieuw paar nakomelingen.
    • Een konijnenpaar kan de eerste maand nog geen nakomelingen krijgen.
    • De konijnenparen gaan niet dood.
    De vraag is nu, hoeveel konijnenparen zijn er dan na één jaar?

    In figuur 1 is het aantal konijnenparen weergegeven voor de eerste vijf maanden.


    Figuur 1: Het aantal konijnenparen
    We gaan op zoek naar een formule voor het aantal konijnenparen. Stel in maand n hebben we a paren en in maand n + 1 hebben we a + b paren, namelijk a oudere paren en b nieuwgeboren paren.
    De volgende maand n + 2 zijn er 2a + b paren, want in die maand zijn er:
    • a paren van maand n;
    • a nieuwgeboren paren van de oudere paren van maand n + 1;
    • b nieuwgeboren paren van maand n + 1 die nog geen nakomelingen kunnen krijgen.
    Dat betekent dat in maand n + 2 het aantal konijnen-paren 2a + b gelijk is aan de som van het parenaantal a + b in maand n + 1en het parenaantal a in maand n. Hieruit leiden we de formule af voor het aantal konijnenparen: pn+2 = pn+1 + pn met p0 = 1 en p2 = 1.


    In de onderstaande tabel zie je de eerste dertien Fibonacci-getallen.


    Na een jaar zijn er dus 233 konijnenparen.

    Tegelwand van vierkanten
    We kijken naar het volgende voorbeeld:
    p0 2 + p12 + p22 + p32 + p42 = p4 . p5
    12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 . 8
    40 = 5 . 8
    In formule-vorm zou dit zijn: p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1. Klopt deze formule, of is het maar stom toeval dat die voor n = 4 klopt?
    In figuur 2 zie je een aantal speciale vierkanten. Beginnend bij de kleinste vierkanten zijn de zijden van de vierkanten de getallen uit de rij van Fibonacci, want de zijde van het volgende vierkant ontstaat door de zijden van de voorgaande twee vierkanten op te tellen.


    Figuur 2: Vierkante tegels
    Voor de oppervlakte 0n van de n-de rechthoek geldt: 01 = 12 = 1
    02 = 12 + 12 = 1 + 12 = 1 . 2 = p1 . p2
    03 = 12 + 12 + 22 + 32 = 2 . 3 + 32 = 3 . 5 = p3 . p4
    05 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 3 . 5 + 52 = 5 . 8 = p4 . p5
    0n+1 = p02 + p12 + ... + pn2 = pn . pn+1
    Voor elke n klopt de formule!

    Wat is de Gulden Snede?
    De beste manier om uit te leggen wat de Gulden Snede is, is aan de hand van een lijnstuk dat zó in twee stukken a en b (met a > b) gedeeld is, dat de verhouding van het hele lijnstuk tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote en kleine stuk (zie figuur 3). Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd en meestal voorgesteld met φ (phi).


    Figuur 3: Lijnstuk verdeeld in uiterste en middelste reden

    In formulevorm kun je dit schrijven als:

    Hieruit volgt :               .                                   

    Delen door geeft                        en bijgevolg is    .

    We stellen φ gelijk aan , dan geldt . Het oplossen van deze vergelijking leidt tot .

    Als je het minteken laat staan, is de verhouding φ negatief en dat kan niet (het is een quotiënt van twee lengten), dus is de Gulden Snede

    varphi = frac{1+sqrt{5}}{2}approx 1.61803,39887ldots,

    Waar vind je de rij van Fibonacci in de natuur?

    Vele soorten bloemen hebben een aantal blaadjes (of het gemiddelde aantal blaadjes) dat gelijk is aan een getal uit de rij van Fibonacci. Hieronder staan enkele voorbeelden.
    • Lelie en iris met 3 blaadjes
    • Boterbloem (zie figuur 4), parnassia en geranium met 5 blaadjes
    • Delphinium en jakobskruiskruid met 8 blaadjes
    • Cineraria met 13 blaadjes
    • Aster (zie figuur 5) en cichorei met 21 blaadjes
    • Moederkruid met 34 blaadjes
    • Herfstaster met 89 blaadjes

    Figuur 4: Boterbloem    Figuur 5 : Aster


    Fibonacci bij bijen.
    Iets waarbij ook de rij van Fibonacci in de natuur voorkomt, is het voorgeslacht van een mannetjesbij, want:
    • als een vrouwtje een niet bevrucht ei legt, dan wordt het een mannetje;
    • als het ei bevrucht was, dan wordt het een vrouwtje.
    Een mannetjesbij heeft maar één ouder: een vrouwtje. Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders: een mannetje en een vrouwtje (zie figuur 6).


    Figuur 6: Stamboom van een mannetjesbij

    De mannetjesbij onder in de stamboom van figuur 6 heeft dus maar één ouder. En hij heeft 2 grootouders, want zijn moeder heeft twee ouders. Hij heeft 3 over-grootouders, omdat zijn grootvader één ouder heeft en zijn grootmoeder 2 ouders. De 3 over-groot-ouders (de 2 oma’s en de opa) hebben 5 over-over-grootouders, want beide oma’s hebben elk twee ouders en de opa heeft één ouder. Als je in figuur 6 van onder naar boven naar het aantal bijen kijkt, krijg je de rij 1, 1, 2, 3, 5. En dat is de rij van Fibonacci. Immers, het principe van de bijen en de konijnenparen is hetzelfde: de mannetjesbijen zijn dan net als de nieuwgeboren konijnenparen en de vrouwtjesbijen zijn dan net als de konijnenparen die wel nakomelingen kunnen krijgen.

    De Gulden Snede bij mens en dier
    De Gulden Snede kom je niet alleen in de wiskunde tegen. In het menselijk lichaam vinden we phi vaak terug. Dit kunnen we bijvoorbeeld laten zien aan de hand van ‘De mens van Vitrivius’, een tekening van Leonardo da Vinci (zie figuur 7). Hij maakte deze tekening om de verhoudingen van de mens te laten zien, omdat hij vond dat deze verhoudingen universeel waren. We zien dat hij de persoon in twee stukken gedeeld heeft ter hoogte van het middel. We treffen de verhouding phi aan: het hele lichaam verhoudt zich tot het onderlichaam als het onderlichaam zich tot het bovenlichaam verhoudt.

    Figuur 7: De mens van Vitrivius               Figuur 8: Phi in het gezicht
     
    Nog een mooi voorbeeld is het gezicht (zie figuur 8). In het gezicht zien we veel gulden rechthoeken terug. Een gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde.
    Ook in andere delen van het menselijke lichaam komen we phi tegen, bijvoorbeeld: de breedte van de borstkas ten opzichte van de taille, de lengte van het hoofd ten opzichte van de borstkas en de lengte van de onderarm ten opzichte van de lengte van de hand.
    Ook in de dierenwereld zien we phi terug. Een voorbeeld daarvoor is de nautilus, een schelp (zie figuur 9). We zien dat de schelp ingedeeld kan worden in gulden rechthoeken.

    Figuur 9: Nautilus                                Figuur 10: Vogel                 Figuur 11: Tijger

    Een ander voorbeeld is de vogel in figuur 10. Deze gekleurde vogel wordt (in zijn kleuren) verdeeld volgens de verhouding van de Gulden Snede. Het laatste voorbeeld is de tijger in figuur 11. Ook hier treffen we gulden rechthoeken aan.

    Conclusie

    De Fibonacci-rij is een bijzondere rij waarbij twee opeenvolgende getallen het volgende getal vormen. De rij heeft veel eigenschappen. De opeenvolgende getallen staan in een verhouding die naar de Gulden Snede toe gaat. Je kunt er op een speciale manier tegels mee leggen, waarbij de oppervlakte van een rechthoek gelijk is aan de sommatie van de kwadraten van de getallen van de Fibonacci-rij.
    Ook in de natuur komen de Fibonacci-getallen voor, bijvoorbeeld bij het aantal bloemblaadjes van een bloem en bij de stamboom van de mannetjesbij.
    De Gulden Snede is de verhouding phi, bij benadering 1,618. Het is de verhouding die een lijnstuk zó in twee delen deelt, dat de verhouding van het geheel tot het grote stuk gelijk is aan de verhouding van het grote tot het kleine stuk. Er zijn veel toepassingen van de Gulden Snede. Zo zijn er bijvoorbeeld gulden rechthoeken, waarbij de verhouding van de som van de beide zijden tot de lange zijde gelijk is aan de verhouding van de lange zijde tot de korte zijde. En er zijn formules om phi te benaderen c.q. te berekenen.
    Ook zien we phi terug in de natuur, onder andere bij enkele dieren maar ook in het menselijk lichaam.
    Kortom: de Gulden Snede phi en de Fibonacci-getallen zijn echt overal!

    De formule van Binet

    De getallen uit de Fibonacci-rij zijn recursief gedefinieerd door un+1 = un + un-1 , met n > 1 en u1 = 1 en u2 =1. Het was de Franse wiskundige Jacques Philippe Marie Binet die in 1843 als eerste een expliciete formule publiceerde voor de n-de term un uit de rij van Fibonacci. Een bewijs van de onderstaande formule (en nog heel wat meer wetenswaardigheden over de rij van Fibonacci en de Gulden Snede vind je in de bijlage.
    Met dank aan erebegeleider Walter De Volder.

    Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt

                            sectio6_f.gif (1124 bytes)


    En dit knap filmpje over de Fibonaccigetallen is wellicht het beste dat over dit onderwerp op Youtube te vinden is!

    Bijlagen:
    Fibonacci jonger dan je denkt.doc (687.5 KB)   

    21-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Belspelletjes en wiskunde: BASTA


    Het BASTA-team met Jonas Geirnaert, Jelle De Beule, Lieven Scheire en Koen De Poorter

    Onlangs verscheen in Het Nieuwsblad een opgemerkt artikel over belspelletjes
    waarin de kijkers het antwoord moeten doorbellen op een wiskundevraagstuk.
    Wanneer het belmeisje dan uiteindelijk het juiste antwoord geeft, blijkt dit quasi onvindbaar te zijn. 
    De opgave werd voorgelegd aan een twintigtal wiskundeprofs.
    Ook zij slaagden er niet in het raadsel te kraken.

    Besluit: je kans wagen in belspelletjes (zeker met wiskundevraagstukjes) is zinloos, of beter : was zinloos.
    Dank zij het TV-een-programma BASTA werden deze bedrieglijke belspelletjes immers ontmaskerd.
     Bekijk maar eens het onderstaande fragment uit de uitzending BASTA.


     

    Ook in de geschreven pers werd hieraan heel wat aandacht besteed.

     Lees het krantenartikel van Hans-Maarten Post (in bijlage).

    Bijlagen:
    Belspelletjes en wiskunde.doc (94.5 KB)   

    15-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    08-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.SoftMaths

    SoftMaths

    Geert De Saegher trakteert ons bij het begin van 2011 met de nieuwste versie van zijn gratis wiskundepakket SoftMaths versie 2.1 (2011-01-06)

     dat heel wat oefenmogelijkheden biedt voor leerlingen in het 3de en 4de jaar van het secundair onderwijs.

    Je vindt alle informatie op : http://www.gedesasoft.be/

    Rubrieken:

    - eerstegraadsfuncties
    - tweedegraadsfuncties
    - vierkantsvergelijkingen
    - goniometrie
    - oplossen van driehoeken
    - deelbaarheid in Z
    - stelsels van eerstegraadsvergelijkingen
    - statistiek
    - rijen
    - kansrekenen
    - en nog veel meer ...



    08-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    06-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Getallen raden: twee spelletjes

                         Casper en Hobbes © Bill Watterson

    Veel mensen geraken gefascineerd door vaak eenvoudige rekentruuks waarbij de 'goochelaar' er schijnbaar probleemloos in slaagt het getal te raden dat iemand in gedachten heeft genomen.

    Op het internet circuleren een aantal dergelijke goocheltruuks. We stellen er graag twee voor (met dank aan collega Ferdinand Develter voor de tip). 

    Het eerste spelletje krijg je gepresenteerd via een Franstalige powerpointpresentatie. Men vraagt je verschillende keren na elkaar een getal van twee cijfers in gedachten te nemen en hiervan de som van de cijfers af te trekken.
    Kies je bijvoorbeeld 43, dan bereken je 43 - (4 + 3) = 43 - 7 = 36.
    Dan toont de Grote Kissetou een tabel met getallen en Egyptische symbolen en vraagt je het symbool te onthouden dat correspondeert met het getal 36.
    En blijkbaar slaagt de Grote Kissetou er keer op keer in het gekozen symbool te raden!

    PS. Een Nederlandstalige versie hiervan zit in bijlage.

     

    Het tweede spelletje is Engelstalig en kan je hieronder spelen. Volg de instructies die op het scherm verschijnen.




    En als je wil weten hoe beide spelletjes werken, zend me dan een berichtje!

    bird

    Bijlagen:
    de grote Kissetou.ppt (2 MB)   

    06-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (3)
    05-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vier klassieke tekenproblemen




     Kan jij het volgende kalssieke tekenprobleem  (met de glimlach) oplossen?


    Hieronder staan 9 stippen.
    Verbind deze stippen met behulp van vier lijnstukken
    en zonder jouw potlood (of pen) van het papier op te heffen.








    In bijlage vind je een afdrukbare versie met vier tekenrproblemen
    en voor wie er niet aan uit geraakt,
    stellen we ook nog de oplossingen beschikbaar.

    Bijlagen:
    OPLOSSINGEN.doc (149.5 KB)   
    Vier tekenproblemen.doc (130 KB)   

    05-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    04-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Vlaamse Wiskunde Olympiade editie 2011




    Hierboven zie je de poster afgebeeld
    die naar aanleiding van de jubileumeditie
    25 jaar VWO
    werd verspreid in alle Vlaamse scholen
    (klik op de poster voor een grotere afbeelding).

    In de 25 vakjes wordt telkens een getal
    van 1 tot en met 25
    op een visuele manier uitgebeeld.

    Het gehele rooster vormt meteen
    een magisch 5 x 5 - vierkant.

    Meer uitleg vind je op http://www.vwo.be > Vorige edities > De posters.

    Naar aanleiding van dit jubileum heb ik samen
    met collega-VWO-jurylid Daniël Tant
    een brochure opgesteld met de slechtst beantwoorde vragen
    van de voorbije 25 edities (eerste ronde).

    Je kan deze brochure in bijlage vinden
    en meteen heb je weer wat oefenmateriaal
    voor de komende editie!

    Bijlagen:
    Slechtst beantwoorde vragen 25 jaar VWO.pdf (1.2 MB)   

    04-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    03-01-2011
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.ABBA in cijfers


    File:ABBA Member.jpg


    • 1945: geboortejaar van Björn Ulvaeus (gitarist) en Anni-Frid (Frida) Lyngstad
    • 1946: geboortejaar van Benny Andersson (pianist)
    • 1950: geboortejaar van Agnetha Fätlskog
    • 1972: formatie van de groep ABBA met Stig Anderson als manager
    • 1973:  ABBA neemt voor het eerst deel aan de Zweedse preselecties voor het Eurovisiesongfestival met het nummer Ring Ring en wordt hiermee pas derde
    • 2 x 2 = 4: de vier Abba-leden vormden twee getrouwde koppels (Agnetha en Björn - Benny en Frida > debeginletters van hunn namen vormen het acroniem ABBA)
    • 1974: ABBA wint het Eurosongfestival met het liedje Waterloo
    • 1977: tournee in Europa en in Australië (waar ze 11 concerten geven en in totaal voor 160 000 fans optreden) -  Dancing Queen is de enige nummer 1-hit van ABBA in de Verenigde Staten - ABBA: The Movie, film over hun optredens in Australië
    • 09-01-1979: uitvoering van Chiquitita op het concert Music for Unicef - ABBA staat de copyrights af voor Unicef
    • 1979: jaar van scheiding van Agnetha en Björn
    • 1981: jaar van scheiding van Benny en Frida
    • 11-12-1982: laatste optreden op de Britse TV (life vanuit Stockholm)
    • 04-07-2008: de vier ABBA-leden veschijnen samen in Stockholm op de première van de film Mamma Mia! Herken je ze op de onderstaande foto waarop ze samen met de filmacteurs poseren?

      File:ABBA 2008 Av Daniel Åhs.jpg



    • 1999: start van de uitvoering van de musical Mamma Mia! in Londen
    • 370 000 000: aantal verkochte ABBA-platen
    • 1 000 000 000: 1 miljard dollar wordt aan ABBA geboden in 2004 voor een reünietournee van 100 concerten.
    • 03-01-2011: het bericht verschijnt in de kranten dat er in 2011 mogelijk een eenmalige reünie komt van ABBA

    Hieronder zie je ABBA nog eens aan het werk in mijn favoriete clip met Take A Chance On Me
    (uitgebracht op 28-01-1978 en waarbij de dames via de songtekst en knipoogjes naar de kijker
    wellicht reeds allusie maken op de problemen binnen hun huwelijksrelatie.
    Ook de lichaamstaal van de mannen spreekt boekdelen).

     

    03-01-2011 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    21-12-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Voor 2011

    Voor 2011 wens ik je
    een beetje meer tijd
    iets om naar uit te kijken
    iemand om van te houden.

    Zomaar wat gedachten om even bij stil te staan bij het begin van het nieuwe jaar ...

      Als het niet kan zoals het moet, dan moet het maar zoals het kan.

    2   Achteruitkijken geeft koppijn bij ’t vooruitgaan.


    3   Zelfkennis is het begin van alle wijsheid en het einde van de meeste illusies.


    4   The only constant in life is change.


    5   Haast je als je tijd hebt, dan heb je tijd als je haast hebt.


    6   Verstandig is het om overal de helft van te geloven. Wijs ben je, als je weet welke helft.


    7   Leven is leren aanvaarden dat je krijgt wat je verdient in plaats van wat je wil.


    8   Als je het niet kan oplossen is het geen probleem.


    9   Het begin is de helft van het geheel.


    10 Wie niet buiten roken kan moet maar buiten roken.


    11 De man die beslist en zich wel eens vergist, brengt meer geld in de kist dan de perfectionist, die de aansluiting mist.


    12 Leven is het meervoud van lef.


    13 Geld maakt niet gelukkig. Geen geld ook niet.


    14 Kies jouw liefde en bemin jouw keuze.


    15 Medelijden is als in je broek plassen: het warme gevoel duurt maar even. 


    16 Eeuwigheid duurt het langst!


    17 Leraren zijn er om te helpen met problemen die je zonder hen niet hebt.


    18 Tegenslag betekent slechts vertraging als geduld volharding wordt.


    19 No matter what they teach you, what you believe is true.


    20 Omnia aliena sunt : tempus tantum nostrum (Seneca)

         Niets hebben wij in handen, tenzij een beetje tijd.


    http://www.theworldbookofhappiness.com/

    21-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    15-12-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Puzzelplezier aan de bar

    MUNTENPUZZEL



    Leg 10 gelijke muntstukjes in de vorm van een driehoek zoals hierboven staat afgebeeld.
    Hoe kan je door slechts 3 muntjes te verschuiven ervoor zorgen dat de driehoek omkeert, d.w.z. dat de top onderaan staat?




     Meer leuke probleempjes vind je in filmpjes op http://easybartricks.com/ .

    15-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskundetoernooi

    Op 1 oktober 2010 organiseerde het departement wiskunde van de K.U. Leuven de eerste Vlaamse editie

    van het jaarlijkse wiskundetoernooi dat in 1992 werd opgericht aan de Radboud Universiteit Nijmegen.

    Deze wedstrijd richt zich op studenten van het vijfde en zesde jaar van het middelbaar onderwijs.

    Sinds 2008 organiseert de Universität zu Köln de Duitse editie van het toernooi.

    Verschillende andere buitenlandse universiteiten hebben nu al interesse getoond voor dit initiatief.

    In Leuven namen ongeveer 140 studenten deel, begeleid door 23 leerkrachten afkomstig uit alle Vlaamse provincies.

    Winnaar van de eerste Vlaamse editie werd het VTI van Popringe.

    Er zijn twee grote verschilpunten met andere dergelijke competities: de leerlingen nemen in ploegen van maximaal vijf personen deel

    en daarnaast wordt er bijzondere aandacht besteed aan maatschappelijke toepassingen van de wiskunde.

    Voorbereidend materiaal vind je op de Nijmeegse website  http://www.ru.nl/wiskundetoernooi/ 

    We kijken nu al uit naar de tweede editie van dit geslaagd initiatief!

    15-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    13-12-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Spiegeltje, spiegeltje aan de wand


    Op de voorbije Dag van de Wiskunde (K.U. Leuven Campus Kortrijk - 20 november 2010) 
    gaf collega Eddy Jennekens de oplossing voor een eenvoudig en praktisch probleem.

    Hoe hoog moet een spiegel zijn opdat je er jezelf volledig kunt in zien?
    En hoe hoog moet je die spiegel dan ophangen aan een verticale muur?

    De oplossing steunt op de eigenschap van de middenparallel in een willekeurige driehoek en via de onderstaande figuur kan je dan de redenering gemakkelijk volgen.


    [A’B’] is het beeld van een persoon [AB] ten opzichte van een spiegel [MN] die op de verticale rechte x ligt.

    Het punt C stelt de plaats van de ogen voor. 


    Oplossing.


    Merk op: P is het midden van [BB’] (eigenschap van een spiegeling).
    Uit AB // x // A’B’ volgt dan (omgekeerde stelling middenparallel):

    in D BCB’: M is het midden van [CB’].

    Vervolgens:

    in D CB’A’: N is het midden van midden [CA’].
    Dus is [MN] een middenparallel van
    D CB’A’, waaruit volgt:

    |MN| = ½ .|A’B’| = ½ |AB|.


    Antwoord: de hoogte van de spiegel moet de helft van je lichaamslengte zijn.


     Opmerking.


    De spiegel moet wel op een bepaalde hoogte hangen.

    In DACA’ is immers ook [NQ] een middenparallel en meet dus de helft van [AC].

    Dit betekent dat de onderrand van de spiegel op een hoogte moet hangen

    die gelijk is aan de helft van de afstand van de ogen van de persoon tot aan de grond.


    13-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Laat ze niet schieten (Peter Adriaenssens)


    Deint de school mee op de golven van de maatschappij?
    In elk geval stellen we vast dat leerlingen (en hun ouders) en de leraren hedendaagse tendensen binnen de school- en klasmuren brengen.
    Ook technische snufjes veroveren steeds meer een plaats op de school: laptops, digitale borden, notebooks, internet ...
    Het is geen geheim dat het leren van leerlingen niet meer uitsluitend binnen de lesuren gebeurt.

    De 'maatschappij' voelt zich vaker dan vroeger geroepen om aan een school tips en adviezen te formuleren.
    Zo formuleerde ook Peter Adriaenssens in zijn boek 'Laat ze niet schieten' enkele suggesties:

      1. Maak de klasgroepen nu eindelijk eens kleiner.
      2. Denk na over de invoering van niet-gemengde klassen.
      3. Schaf leerplicht tot 18 jaar af; sommige leerlingen raken verder door bij een goede 'patron' te werken.
      4. Zorg voor voldoende ruimte op school; jongens moeten kunnen bewegen.
      5. Maak van sociaal engagement een echt vak.
      6. Voer een zevende studiejaar in, om (taal)achterstand weg te werken in voorbereiding op de middelbare school.
      7. Voer opnieuw een klassiek eerste jaar in aan de universiteit zonder 'meeneemvakken'.
      8. Laat kinderen dromen.
      9. Zie de kinderen graag, maar stel ook grenzen.
    10. Geef zelf het goede voorbeeld.

    Bron: Breedbeeld, jaargang 3 - nr. 2

    13-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Wiskunde en de EXPO 58



    Wie Expo 58 zegt, denkt wellicht direct aan het Atomium. Maar vanuit architecturaal en wiskundig standpunt bekenen was vooral het Philipspaviljoen één van de grote blikvangers.

    De elektronicareus Philips vroeg aan de wereldberoemde architect Le Corbusier om een revolutionair en spraakmakend paviljoen te ontwerpen voor de wereldtentoonstelling in Brussel.

    Het resultaat was Le Poème Electronique, een futuristisch paviljoen waar Le Corbusier samen met de componisten Iannis Xenakis en Edgard Varèse een synthese bracht van architectuur, beeld en klank.

    Dit was in feite het eerste multimediaproject ter wereld.

    Het paviljoen zelf was een betonnen constructie die bestond uit gematerialiseeerde delen van hyperbolische paraboloïden.

     

    Een hyperbolische paraboloïde is een regeloppervlak met een gereduceerde vergelijking van de gedaante

    
left( frac{x}{a} right) ^2 - left( frac{y}{b} right) ^2 + 2z = 0

    Het is een oppervlak dat kan beschreven worden met twee stelsels rechte lijnen :

    x/a + y/b = λz
    x/a – y/b = 2/λ

    en

    x/a + y/b = 2/μ
    x/a – y/b = μz

    waarin λ en μ reële parameters voorstellen. Elke rechte lijn van een stelsel kruist elke andere rechte lijn van hetzelfde stelsel en snijdt elke rechte lijn van het andere stelsel.

    Hieruit volgt, dat de vorm gemakkelijk - dus goedkoop - op te trekken is uit gewapend beton of met spankabels. De vorm is ook stevig, sierlijk, watert goed af en sneeuw glijdt eraf.

    Daarom vindt de vorm soms toepassing in overkappingen van b.v. sportstadions, treinstations of luchthavens en ook als vorm voor kunstmatige heuvels, bijvoorbeeld naast autosnelwegen.

    Bron: wikipedia.

    Een regeloppervlak is een oppervlak waarbij door elk punt minstens één rechte (een beschrijvende of regel), die volledig tot het oppervlak behoort.

    Bij een hyperbolische paraboloïde gaan er dus door elk punt van het oppervlak twee rechten die op dat oppervlak liggen:

     

    Voor wie wat vertrouwd is met ruimtemeetkunde legt collega Ferdinand Develter in de tekst in bijlage uit 

    waarom t.o.v. een passend orthonormaal assenstelsel Oxyz de eenvoudigste vorm van een vergelijking van de hypar (hyperbolische paraboloïde) van de gedaante xy = y – z  is.

    Hij voegt er ook een GeoGebrabestand aan toe met een constructie en wat uitleg.

    Bijlagen:
    DE HYPERBOLISCHE PARABOLOÏDE.doc (51 KB)   
    hypar.ggb (6.1 KB)   

    13-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Het probleem van de wolf, het schaap en de kool




    Dit is een klassiek probleempje van logisch denken dat je ongetwijfeld gemakkelijk kunt oplossen.

    Een man beschikt over een klein roeibootje. Hij moet een wolf, een schaap en een kool naar de andere oever overbrengen.

    In het bootje is maar plaats voor de man en ofwel de wolf, ofwel het schaap, ofwel de kool.

    Hij mag echter de wolf en het  schaap nooit alleen laten (je kan wel raden wat er dan gebeurt) en ook het schaap mag hij niet alleen met de kool achterlaten.

    Hoe legt hij het aan boord?

    Dit probleem kwam reeds voor in een rekenboek van Bedius uit de zevende eeuw.

    De tekst is in het Latijn geschreven en er is ook sprake van een geit i.p.v. een schaap: Propositio XIX. De lupo et capra et fasciculo cauli.

    Je kunt dit spelletje online spelen op http://www.plastelina.net/game1.html.




    13-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    12-12-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.De best gekende Sangaku

    Bestand:Sangaku-3c.png


    Volgens Wikipedia zijn Sangaku of San Gaku (算額; lett. wiskundige tablet)  Japanse puzzels
    die in kleur op houten tafels werden geschilderd gedurende de zogenaamde Edoperiode (1603-1867).
    Die tafels werden dan op het terrein van tempels en Shinto-kapellen  opgehangen
    als offers aan de goden of als uitdagingen voor de leden van de congregatie.
    Men kan sangaku dus beschouwen als 'stellingen zonder woorden' uit de vlakke euclidische meetkunde.
    Het bewijs ervan werd meestal niet gegeven.
    Veel van de tafels gingen verloren gedurende de periode van modernisering na de Edoperiode,
    maar men kent er nu ongeveer negenhonderd die hebben overleefd.

    Op de website http://www.wasan.jp/english/  staat een kaart van Japan met de voornaamste vindplaatsen van sangaku.

    Een typisch probleem, gepresenteerd op een tafel uit 1824 in de prefectuur Gunma,
    gaat over de relatie tussen drie elkaar rakende cirkels met een gemeenschappelijke raaklijn (zie figuur bovenaan deze pagina).

    Als de stralen van de twee buitenste cirkels resp. r2 en r3 zijn en de straal van de middelste kleine cirkel r1 dan is het te bewijzen dat

    frac{1}{sqrt{r_1}}=frac{1}{sqrt{r_2}} + frac{1}{sqrt{r_3}}

    Voor wie op zoek is naar een bewijs hiervan, verwijzen we naar de bijlage.

     Op het internet kan men een groot aantal van deze mooie en uitdagende sangaku vinden,
    maar het bewijs ervan vraagt vaak heel wat parate kennis van vlakke euclidische meetkunde.
    Kijk bijvoorbeeld eens op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml .
    Het Nederlands tijdschrift Pythagoras besteedde de voorbije jaren bijzondere aandacht aan sangaku
    en via hun webshop (www.pythagoras.nu) kan je een mooie sangakuposter (zie bijlage) aankopen.

    In bijlage zit ook nog het inspirerende eindwerk van een leerlinge van Hemelsdaele (Brugge) (toegevoegd in 2015).

    Bijlagen:
    De Wilde An-Sofie Eindwerk Wiskunde 2015 - Sangaku.docx (2.6 MB)   
    sangakuposter.pdf (159.6 KB)   
    SANGAKU_bewijs.pdf (70 KB)   

    12-12-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    24-09-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Homografische functies en de lenzenwet

    HOMOGRAFISCHE FUNCTIES

    Functies van het type f : IR -> IR : x -> f(x) = (ax + b)/(cx + d)  met c ≠ 0 hebben in principe een gelijkaardige grafiek (een hyperbool) met een horizontale en een verticale asymptoot.

    Dit verklaart ook de benaming: in het Grieks betekent homoios gelijksoortig en graphein schrijven of tekenen.

    Op http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/homografische_f.htm heeft Chris Cambré een GeoGebra-applet geplaatst waarmee je grafieken van homografische functies kunt bestuderen.

    Het loont de moeite om zelf  een dergelijk bestand op te bouwen met GeoGebra door gebruik te maken van schuifknoppen.

    Onderzoeksvraag.
    Teken met een computerprogramma of met een grafische rekenmachine de grafiek van een homografische functie 
    f : IR -> IR : x -> f(x) = (ax + b)/(cx + d)  met c ≠ 0 en waarbij a = -d. 
    Welke merkwaardige eigenschap stel je vast als je het functievoorschrift en de grafiek van de inverse functie f -1 bekijkt?



    De lenzenwet

    frac {1}{v} + frac {1}{b} = frac {1}{f}

    waarbij f de brandpuntsafstand is, v de voorwerpsafstand en b de beeldafstand is een mooie toepassing van homografische functies.

    Kan je verklaren hoe men tot deze formule komt?
    En hoe groot is b als v = 15 cm en f = 5 cm?

    Hieronder zie je hoe de beeldvorming gebeurt bij een lens:

    Beeldvorming bij lenzen

    Bron: UGent.

    Je kan de plaats van het beeld bepalen bij een dunne convergerende lens (bolle lens) met volgende grafische constructie:

    Straal 1 vertrekt vanuit V, gaat door O, en loopt rechtdoor.    

    Straal 2 loopt vanuit V evenwijdig met de hoofdas, en gaat na de lens door het brandpunt F1’.    

    Straal 3 vertrekt vanuit V, gaat door brandpunt F1, en loopt na de lens evenwijdigmet de hoofdas. Deze straal snijdt de twee vorige stralen in punt B.

     In bijlage vind je een 'bewijs' van de lenzenwet.

    Bijlagen:
    LENZENWET.doc (84 KB)   

    24-09-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    09-09-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Ingrid Daubechies en gemiddelden


    Ingrid Daubechies (geboren in 1954 in Houthalen) is een Belgische wis- en natuurkundige
    die wereldvermaardheid kent op het onderzoeksgebied van de wavelets.
    Wavelet-functies worden namelijk gebruikt om afbeeldingen te comprimeren.
    Dank zij deze techniek kunnen bijvoorbeeld foto's via e-mail verstuurd worden.
    Foto's en afbeeldingen worden niet alleen verstuurd via mail, maar met behulp van computerprogramma's,
    die in feite gebruik maken van elementaire wiskunde via pixels en coördinaten, kan men die ook gaan manipuleren.

    Met behulp van grafische computertechnieken is men er zo in geslaagd een 'gemiddelde foto' samen te stellen uit een reeks foto's.
    Zo kan men o.a. uit een reeks pasfoto's een 'gemiddeld gezicht' samen stellen.
    Hieronder zie je hoe het gemiddeld gezicht van 10 jongens en van 10 meisjes er uit ziet.
    De foto's van de jongens en de meisjes werden willekeurig gekozen uit een grote reeks.

     

    Je kunt hiermee zelf experimenteren op http://www.faceresearch.org/demos/average.

    Voor een 'gemiddelde' wiskundige zijn er drie soorten gemiddelden van twee positieve getallen a en b belangrijk:
    - het rekenkundige gemiddelde r = (a+b)/2
    - het meetkundig of geometrisch gemiddelde g = √(ab)
    - het harmonisch gemiddelde h = 2ab/(a+b).

    In het algemeen is h ≤ g ≤ r. 
    Het is een leuke uitdaging om dit via algebraïsch rekenwerk te bewijzen.
    Rond 300 na Chr. slaagde Pappus van Alexandrië er reeds in deze ongelijkheid op een meetkundige manier (een typisch Griekse manier) te bewijzen. 
    Meer uitleg over beide bewijsmethoden vind je in de bijlage.

    ***********************************************************************************************************

    Het meetkundig gemiddelde van twee getallen heeft men bijvoorbeeld nodig
    bij berekeningen i.v.m. aangroei van een bepaalde grootheid.
    Als die grootheid het eerste jaar aangroeit met 10 % (factor 1,1) en het tweede jaar met 20 % (factor 1,2),
    dan is de gemiddelde aangroeifactor precies het meetkundig gemiddelde van die twee factoren: √ (1,1 x 1,2) = 1,1489 ... .
    Dit betekent dus dat men hetzelfde eindresultaat bekomt na twee jaar door telkens met de factor 1,1489...
    te vermenigvuldigen of dus dat de gemiddelde aangroei over die twee jaar 14,89 % bedraagt.

    Het harmonisch gemiddelde van twee getallen heeft men nodig om bijvoorbeeld een gemiddelde snelheid te berekenen.
    Als iemand van Kortrijk naar Leuven (120 km) rijdt aan een gemiddelde snelheid van 60 km/u
    en terugkeert van Leuven naar Kortrijk met een gemiddelde snelheid van 120 km/u,
    dan bedraagt zijn gemiddelde snelheid over het gehele traject niet 90 km/u maar slechts 80 km/u (nl. 240 km in 3 uur).
    Het harmonisch gemiddelde van 60 en 120 is precies 80. 

    Bijlagen:
    GEMIDDELDEN.pdf (462 KB)   

    09-09-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    27-08-2010
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Maak zelf in tekening in de stijl van Escher

    Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) was een Nederlandse kunstenaar die wereldberoemd werd

    door zijn tekeningen en houtsneden waarin heel wat wiskundige transformaties zijn verwerkt.

    Eén van de specialiteiten van Escher waren zijn vlakvullingen.

    Hieronder staan enkele voorbeelden afgebeeld. Alle informatie over Escher en zijn werk vind je op http://www.mcescher.com .


    M.C. Escher

    © Cordon Art - Baarn.

    Weinigen weten dat er ook in Vlaanderen een kunstenaar tekeningen maakt in de stijl van Escher.

    Zijn naam is Peter Raedschelders en enkele jaren geleden kwam hij op de Dag van de Wiskunde in Kortrijk uitleggen hoe hij te werk gaat bij het maken van zijn tekeningen.

    Hieronder staat één van zijn meesterwerkjes afgebeeld. Alle informatie over de artiest en zijn werk vind je op zijn website: http://home.scarlet.be/~praedsch/

     

    © Peter Raedschelders

    In de eerste bijlage legt Peter uit hoe je zelf een eenvoudige vlakvulling in de stijl van Escher kunt maken.
    Voor de tweede bijlage gaat onze dank uit naar de redactie van het tijdschrift Uitwiskeling.
    Ook deze werktekst zal je ongetwijfeld inspiratie bieden om een tekening in de stijl van Escher te maken.

    Zeker eens proberen! 

    Bijlagen:
    Werkblad2203_het_vlak_betegelen_met_beestjes_of_andere_figuurtjes.pdf (22.5 KB)   
    Zelf tekeningen maken in de stijl van Escher.docx (133.8 KB)   

    27-08-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)
    Klik hier om een link te hebben waarmee u dit artikel later terug kunt lezen.Papieren vliegtuigjes



    Met het nieuwe schooljaar vliegen we er weer in!

    Wellicht is het vouwen van een papieren vliegtuigje de meest gekende toepassing van origami
     ( 折り紙, Japans: 'ori', vouwen, en 'kami', papier ).



    In de bijlage ontdek je
    hoe je een eenvoudig papieren vliegtuigje kunt vouwen
    dat bovendien vrij lang in de lucht blijft.
    Probeer maar eens !

    Paper planes was een fameuze hit van M.I.A.,
    artiestennaan van de Britse zangeres Mathangi Arulpragasam.
    Het lied is ook te horen in de succesrijke film Slumdog Millionaire (2008).



    I fly like paper, get high like planes
    If you catch me at the border I got visas in my name
    If you come around here, I make 'em all day
    I get one down in a second if you wait


     

    Bijlagen:
    Maak een leuk papieren vliegtuigje.doc (56.5 KB)   

    27-08-2010 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  


    >> Reageer (0)


    Archief per week
  • 29/04-05/05 2019
  • 22/04-28/04 2019
  • 15/04-21/04 2019
  • 08/04-14/04 2019
  • 01/04-07/04 2019
  • 25/03-31/03 2019
  • 18/03-24/03 2019
  • 11/03-17/03 2019
  • 04/03-10/03 2019
  • 25/02-03/03 2019
  • 18/02-24/02 2019
  • 11/02-17/02 2019
  • 04/02-10/02 2019
  • 28/01-03/02 2019
  • 21/01-27/01 2019
  • 14/01-20/01 2019
  • 07/01-13/01 2019
  • 31/12-06/01 2019
  • 24/12-30/12 2018
  • 17/12-23/12 2018
  • 10/12-16/12 2018
  • 03/12-09/12 2018
  • 26/11-02/12 2018
  • 19/11-25/11 2018
  • 12/11-18/11 2018
  • 05/11-11/11 2018
  • 29/10-04/11 2018
  • 22/10-28/10 2018
  • 15/10-21/10 2018
  • 08/10-14/10 2018
  • 01/10-07/10 2018
  • 24/09-30/09 2018
  • 17/09-23/09 2018
  • 10/09-16/09 2018
  • 03/09-09/09 2018
  • 27/08-02/09 2018
  • 20/08-26/08 2018
  • 13/08-19/08 2018
  • 06/08-12/08 2018
  • 30/07-05/08 2018
  • 23/07-29/07 2018
  • 16/07-22/07 2018
  • 09/07-15/07 2018
  • 02/07-08/07 2018
  • 25/06-01/07 2018
  • 18/06-24/06 2018
  • 11/06-17/06 2018
  • 04/06-10/06 2018
  • 28/05-03/06 2018
  • 21/05-27/05 2018
  • 14/05-20/05 2018
  • 07/05-13/05 2018
  • 30/04-06/05 2018
  • 23/04-29/04 2018
  • 16/04-22/04 2018
  • 09/04-15/04 2018
  • 02/04-08/04 2018
  • 26/03-01/04 2018
  • 19/03-25/03 2018
  • 12/03-18/03 2018
  • 05/03-11/03 2018
  • 26/02-04/03 2018
  • 19/02-25/02 2018
  • 12/02-18/02 2018
  • 05/02-11/02 2018
  • 29/01-04/02 2018
  • 22/01-28/01 2018
  • 15/01-21/01 2018
  • 08/01-14/01 2018
  • 01/01-07/01 2018
  • 25/12-31/12 2017
  • 18/12-24/12 2017
  • 11/12-17/12 2017
  • 04/12-10/12 2017
  • 27/11-03/12 2017
  • 20/11-26/11 2017
  • 13/11-19/11 2017
  • 06/11-12/11 2017
  • 30/10-05/11 2017
  • 23/10-29/10 2017
  • 16/10-22/10 2017
  • 09/10-15/10 2017
  • 02/10-08/10 2017
  • 25/09-01/10 2017
  • 18/09-24/09 2017
  • 11/09-17/09 2017
  • 04/09-10/09 2017
  • 28/08-03/09 2017
  • 21/08-27/08 2017
  • 14/08-20/08 2017
  • 07/08-13/08 2017
  • 31/07-06/08 2017
  • 24/07-30/07 2017
  • 17/07-23/07 2017
  • 10/07-16/07 2017
  • 03/07-09/07 2017
  • 26/06-02/07 2017
  • 19/06-25/06 2017
  • 12/06-18/06 2017
  • 05/06-11/06 2017
  • 29/05-04/06 2017
  • 22/05-28/05 2017
  • 15/05-21/05 2017
  • 08/05-14/05 2017
  • 01/05-07/05 2017
  • 24/04-30/04 2017
  • 17/04-23/04 2017
  • 10/04-16/04 2017
  • 03/04-09/04 2017
  • 27/03-02/04 2017
  • 20/03-26/03 2017
  • 13/03-19/03 2017
  • 06/03-12/03 2017
  • 27/02-05/03 2017
  • 20/02-26/02 2017
  • 13/02-19/02 2017
  • 06/02-12/02 2017
  • 30/01-05/02 2017
  • 23/01-29/01 2017
  • 16/01-22/01 2017
  • 09/01-15/01 2017
  • 02/01-08/01 2017
  • 25/12-31/12 2017
  • 19/12-25/12 2016
  • 12/12-18/12 2016
  • 05/12-11/12 2016
  • 28/11-04/12 2016
  • 21/11-27/11 2016
  • 14/11-20/11 2016
  • 07/11-13/11 2016
  • 31/10-06/11 2016
  • 24/10-30/10 2016
  • 17/10-23/10 2016
  • 10/10-16/10 2016
  • 03/10-09/10 2016
  • 26/09-02/10 2016
  • 19/09-25/09 2016
  • 12/09-18/09 2016
  • 05/09-11/09 2016
  • 29/08-04/09 2016
  • 22/08-28/08 2016
  • 15/08-21/08 2016
  • 08/08-14/08 2016
  • 01/08-07/08 2016
  • 25/07-31/07 2016
  • 18/07-24/07 2016
  • 11/07-17/07 2016
  • 04/07-10/07 2016
  • 27/06-03/07 2016
  • 20/06-26/06 2016
  • 13/06-19/06 2016
  • 06/06-12/06 2016
  • 30/05-05/06 2016
  • 23/05-29/05 2016
  • 16/05-22/05 2016
  • 09/05-15/05 2016
  • 02/05-08/05 2016
  • 25/04-01/05 2016
  • 18/04-24/04 2016
  • 11/04-17/04 2016
  • 04/04-10/04 2016
  • 28/03-03/04 2016
  • 21/03-27/03 2016
  • 14/03-20/03 2016
  • 07/03-13/03 2016
  • 29/02-06/03 2016
  • 22/02-28/02 2016
  • 15/02-21/02 2016
  • 08/02-14/02 2016
  • 01/02-07/02 2016
  • 25/01-31/01 2016
  • 18/01-24/01 2016
  • 11/01-17/01 2016
  • 04/01-10/01 2016
  • 28/12-03/01 2021
  • 21/12-27/12 2015
  • 14/12-20/12 2015
  • 07/12-13/12 2015
  • 30/11-06/12 2015
  • 23/11-29/11 2015
  • 16/11-22/11 2015
  • 09/11-15/11 2015
  • 02/11-08/11 2015
  • 26/10-01/11 2015
  • 19/10-25/10 2015
  • 12/10-18/10 2015
  • 05/10-11/10 2015
  • 28/09-04/10 2015
  • 21/09-27/09 2015
  • 14/09-20/09 2015
  • 07/09-13/09 2015
  • 31/08-06/09 2015
  • 24/08-30/08 2015
  • 17/08-23/08 2015
  • 10/08-16/08 2015
  • 03/08-09/08 2015
  • 27/07-02/08 2015
  • 20/07-26/07 2015
  • 13/07-19/07 2015
  • 06/07-12/07 2015
  • 29/06-05/07 2015
  • 22/06-28/06 2015
  • 15/06-21/06 2015
  • 08/06-14/06 2015
  • 01/06-07/06 2015
  • 25/05-31/05 2015
  • 18/05-24/05 2015
  • 11/05-17/05 2015
  • 04/05-10/05 2015
  • 27/04-03/05 2015
  • 20/04-26/04 2015
  • 13/04-19/04 2015
  • 06/04-12/04 2015
  • 30/03-05/04 2015
  • 23/03-29/03 2015
  • 16/03-22/03 2015
  • 09/03-15/03 2015
  • 02/03-08/03 2015
  • 23/02-01/03 2015
  • 16/02-22/02 2015
  • 09/02-15/02 2015
  • 02/02-08/02 2015
  • 26/01-01/02 2015
  • 19/01-25/01 2015
  • 12/01-18/01 2015
  • 05/01-11/01 2015
  • 29/12-04/01 2015
  • 22/12-28/12 2014
  • 15/12-21/12 2014
  • 08/12-14/12 2014
  • 01/12-07/12 2014
  • 24/11-30/11 2014
  • 17/11-23/11 2014
  • 10/11-16/11 2014
  • 03/11-09/11 2014
  • 27/10-02/11 2014
  • 20/10-26/10 2014
  • 13/10-19/10 2014
  • 06/10-12/10 2014
  • 29/09-05/10 2014
  • 22/09-28/09 2014
  • 15/09-21/09 2014
  • 08/09-14/09 2014
  • 01/09-07/09 2014
  • 25/08-31/08 2014
  • 18/08-24/08 2014
  • 04/08-10/08 2014
  • 21/07-27/07 2014
  • 07/07-13/07 2014
  • 30/06-06/07 2014
  • 16/06-22/06 2014
  • 09/06-15/06 2014
  • 28/04-04/05 2014
  • 21/04-27/04 2014
  • 14/04-20/04 2014
  • 07/04-13/04 2014
  • 31/03-06/04 2014
  • 24/03-30/03 2014
  • 17/03-23/03 2014
  • 10/03-16/03 2014
  • 03/03-09/03 2014
  • 24/02-02/03 2014
  • 17/02-23/02 2014
  • 10/02-16/02 2014
  • 03/02-09/02 2014
  • 27/01-02/02 2014
  • 20/01-26/01 2014
  • 13/01-19/01 2014
  • 06/01-12/01 2014
  • 30/12-05/01 2014
  • 23/12-29/12 2013
  • 16/12-22/12 2013
  • 09/12-15/12 2013
  • 02/12-08/12 2013
  • 25/11-01/12 2013
  • 18/11-24/11 2013
  • 11/11-17/11 2013
  • 04/11-10/11 2013
  • 28/10-03/11 2013
  • 21/10-27/10 2013
  • 14/10-20/10 2013
  • 07/10-13/10 2013
  • 30/09-06/10 2013
  • 23/09-29/09 2013
  • 16/09-22/09 2013
  • 09/09-15/09 2013
  • 02/09-08/09 2013
  • 26/08-01/09 2013
  • 19/08-25/08 2013
  • 12/08-18/08 2013
  • 05/08-11/08 2013
  • 29/07-04/08 2013
  • 22/07-28/07 2013
  • 15/07-21/07 2013
  • 08/07-14/07 2013
  • 01/07-07/07 2013
  • 24/06-30/06 2013
  • 17/06-23/06 2013
  • 10/06-16/06 2013
  • 03/06-09/06 2013
  • 27/05-02/06 2013
  • 20/05-26/05 2013
  • 13/05-19/05 2013
  • 06/05-12/05 2013
  • 29/04-05/05 2013
  • 22/04-28/04 2013
  • 15/04-21/04 2013
  • 08/04-14/04 2013
  • 01/04-07/04 2013
  • 25/03-31/03 2013
  • 18/03-24/03 2013
  • 11/03-17/03 2013
  • 04/03-10/03 2013
  • 25/02-03/03 2013
  • 18/02-24/02 2013
  • 11/02-17/02 2013
  • 04/02-10/02 2013
  • 28/01-03/02 2013
  • 21/01-27/01 2013
  • 07/01-13/01 2013
  • 31/12-06/01 2013
  • 24/12-30/12 2012
  • 17/12-23/12 2012
  • 10/12-16/12 2012
  • 03/12-09/12 2012
  • 26/11-02/12 2012
  • 19/11-25/11 2012
  • 12/11-18/11 2012
  • 05/11-11/11 2012
  • 29/10-04/11 2012
  • 22/10-28/10 2012
  • 15/10-21/10 2012
  • 08/10-14/10 2012
  • 01/10-07/10 2012
  • 24/09-30/09 2012
  • 17/09-23/09 2012
  • 10/09-16/09 2012
  • 03/09-09/09 2012
  • 27/08-02/09 2012
  • 20/08-26/08 2012
  • 13/08-19/08 2012
  • 06/08-12/08 2012
  • 30/07-05/08 2012
  • 23/07-29/07 2012
  • 16/07-22/07 2012
  • 09/07-15/07 2012
  • 02/07-08/07 2012
  • 25/06-01/07 2012
  • 18/06-24/06 2012
  • 11/06-17/06 2012
  • 04/06-10/06 2012
  • 28/05-03/06 2012
  • 21/05-27/05 2012
  • 30/04-06/05 2012
  • 23/04-29/04 2012
  • 16/04-22/04 2012
  • 09/04-15/04 2012
  • 02/04-08/04 2012
  • 26/03-01/04 2012
  • 12/03-18/03 2012
  • 05/03-11/03 2012
  • 27/02-04/03 2012
  • 20/02-26/02 2012
  • 13/02-19/02 2012
  • 06/02-12/02 2012
  • 30/01-05/02 2012
  • 23/01-29/01 2012
  • 16/01-22/01 2012
  • 09/01-15/01 2012
  • 02/01-08/01 2012
  • 26/12-01/01 2012
  • 12/12-18/12 2011
  • 05/12-11/12 2011
  • 28/11-04/12 2011
  • 14/11-20/11 2011
  • 07/11-13/11 2011
  • 31/10-06/11 2011
  • 24/10-30/10 2011
  • 10/10-16/10 2011
  • 12/09-18/09 2011
  • 05/09-11/09 2011
  • 29/08-04/09 2011
  • 15/08-21/08 2011
  • 04/07-10/07 2011
  • 27/06-03/07 2011
  • 20/06-26/06 2011
  • 13/06-19/06 2011
  • 06/06-12/06 2011
  • 30/05-05/06 2011
  • 16/05-22/05 2011
  • 28/03-03/04 2011
  • 14/02-20/02 2011
  • 24/01-30/01 2011
  • 17/01-23/01 2011
  • 10/01-16/01 2011
  • 03/01-09/01 2011
  • 20/12-26/12 2010
  • 13/12-19/12 2010
  • 06/12-12/12 2010
  • 20/09-26/09 2010
  • 06/09-12/09 2010
  • 23/08-29/08 2010
  • 19/07-25/07 2010
  • 12/07-18/07 2010
  • 05/07-11/07 2010
  • 28/06-04/07 2010
  • 21/06-27/06 2010
  • 14/06-20/06 2010
  • 10/05-16/05 2010
  • 05/04-11/04 2010
  • 29/03-04/04 2010
  • 15/03-21/03 2010
  • 08/03-14/03 2010
  • 15/02-21/02 2010
  • 08/02-14/02 2010
  • 09/11-15/11 2009
  • 02/11-08/11 2009
  • 26/10-01/11 2009
  • 19/10-25/10 2009
  • 05/10-11/10 2009
  • 28/09-04/10 2009
  • 21/09-27/09 2009
  • 07/09-13/09 2009
  • 31/08-06/09 2009
  • 27/07-02/08 2009
  • 20/07-26/07 2009
  • 13/07-19/07 2009
  • 06/07-12/07 2009
  • 29/06-05/07 2009
  • 22/06-28/06 2009
  • 15/06-21/06 2009
  • 01/06-07/06 2009
  • 25/05-31/05 2009
  • 18/05-24/05 2009
  • 11/05-17/05 2009
  • 27/04-03/05 2009

    E-mail mij

    Druk op onderstaande knop om mij te e-mailen.


    Blog als favoriet !

    Zoeken met Google




    Blog tegen de wet? Klik hier.
    Gratis blog op https://www.bloggen.be - Meer blogs