1945: geboortejaar van Björn Ulvaeus (gitarist) en Anni-Frid (Frida) Lyngstad
1946: geboortejaar van Benny Andersson (pianist)
1950: geboortejaar van Agnetha Fätlskog
1972: formatie van de groep ABBA met Stig Anderson als manager
1973: ABBA neemt voor het eerst deel aan de Zweedse preselecties voor het Eurovisiesongfestival met het nummer Ring Ring en wordt hiermee pas derde
2 x 2 = 4: de vier Abba-leden vormden twee getrouwde koppels (Agnetha en Björn - Benny en Frida > debeginletters van hunn namen vormen het acroniem ABBA)
1974: ABBA wint het Eurosongfestival met het liedje Waterloo
1977: tournee in Europa en in Australië (waar ze 11 concerten geven en in totaal voor 160 000 fans optreden) - Dancing Queen is de enige nummer 1-hit van ABBA in de Verenigde Staten - ABBA: The Movie, film over hun optredens in Australië
09-01-1979: uitvoering van Chiquitita op het concert Music for Unicef - ABBA staat de copyrights af voor Unicef
1979: jaar van scheiding van Agnetha en Björn
1981: jaar van scheiding van Benny en Frida
11-12-1982: laatste optreden op de Britse TV (life vanuit Stockholm)
04-07-2008: de vier ABBA-leden veschijnen samen in Stockholm op de première van de film Mamma Mia! Herken je ze op de onderstaande foto waarop ze samen met de filmacteurs poseren?
1999: start van de uitvoering van de musical Mamma Mia! in Londen
370 000 000: aantal verkochte ABBA-platen
1 000 000 000: 1 miljard dollar wordt aan ABBA geboden in 2004 voor een reünietournee van 100 concerten.
03-01-2011: het bericht verschijnt in de kranten dat er in 2011 mogelijk een eenmalige reünie komt van ABBA
Hieronder zie je ABBA nog eens aan het werk in mijn favoriete clip met Take A Chance On Me (uitgebracht op 28-01-1978 en waarbij de dames via de songtekst en knipoogjes naar de kijker wellicht reeds allusie maken op de problemen binnen hun huwelijksrelatie. Ook de lichaamstaal van de mannen spreekt boekdelen).
Leg 10 gelijke muntstukjes in de vorm van een driehoek zoals hierboven staat afgebeeld. Hoe kan je door slechts 3 muntjes te verschuiven ervoor zorgen dat de driehoek omkeert, d.w.z. dat de top onderaan staat?
Op de voorbije Dag van de Wiskunde (K.U. Leuven Campus Kortrijk - 20 november 2010) gaf collega Eddy Jennekens de oplossing voor een eenvoudig en praktisch probleem.
Hoe hoog moet een spiegel zijn opdat je er jezelf volledig kunt in zien? En hoe hoog moet je die spiegel dan ophangen aan een verticale muur?
De oplossing steunt op de eigenschap van de middenparallel in een willekeurige driehoek en via de onderstaande figuur kan je dan de redenering gemakkelijk volgen.
[AB] is het beeld van een persoon [AB] ten opzichte van een spiegel [MN] die op de verticale rechte x ligt.
Het punt C stelt de plaats van de ogen voor.
Oplossing.
Merk op: P is het midden van [BB] (eigenschap van een spiegeling). Uit AB // x // AB volgt dan (omgekeerde stelling middenparallel):
in D BCB: M is het midden van [CB].
Vervolgens:
in D CBA: N is het midden van midden [CA]. Dus is [MN] een middenparallel van D CBA, waaruit volgt:
|MN| = ½ .|AB| = ½ |AB|.
Antwoord: de hoogte van de spiegel moet de helft van je lichaamslengte zijn.
Opmerking.
De spiegel moet wel op een bepaalde hoogte hangen.
In DACA is immers ook [NQ] een middenparallel en meet dus de helft van [AC].
Dit betekent dat de onderrand van de spiegel op een hoogte moet hangen
die gelijk is aan de helft van de afstand van de ogen van de persoon tot aan de grond.
Deint de school mee op de golven van de maatschappij? In elk geval stellen we vast dat leerlingen (en hun ouders) en de leraren hedendaagse tendensen binnen de school- en klasmuren brengen. Ook technische snufjes veroveren steeds meer een plaats op de school: laptops, digitale borden, notebooks, internet ... Het is geen geheim dat het leren van leerlingen niet meer uitsluitend binnen de lesuren gebeurt.
De 'maatschappij' voelt zich vaker dan vroeger geroepen om aan een school tips en adviezen te formuleren. Zo formuleerde ook Peter Adriaenssens in zijn boek 'Laat ze niet schieten' enkele suggesties:
1. Maak de klasgroepen nu eindelijk eens kleiner. 2. Denk na over de invoering van niet-gemengde klassen. 3. Schaf leerplicht tot 18 jaar af; sommige leerlingen raken verder door bij een goede 'patron' te werken. 4. Zorg voor voldoende ruimte op school; jongens moeten kunnen bewegen. 5. Maak van sociaal engagement een echt vak. 6. Voer een zevende studiejaar in, om (taal)achterstand weg te werken in voorbereiding op de middelbare school. 7. Voer opnieuw een klassiek eerste jaar in aan de universiteit zonder 'meeneemvakken'. 8. Laat kinderen dromen. 9. Zie de kinderen graag, maar stel ook grenzen. 10. Geef zelf het goede voorbeeld.
Wie Expo 58 zegt, denkt wellicht direct aan het Atomium. Maar vanuit architecturaal en wiskundig standpunt bekenen was vooral het Philipspaviljoen één van de grote blikvangers.
De elektronicareus Philips vroeg aan de wereldberoemde architect Le Corbusier om een revolutionair en spraakmakend paviljoen te ontwerpen voor de wereldtentoonstelling in Brussel.
Het resultaat was Le Poème Electronique, een futuristisch paviljoen waar Le Corbusier samen met de componisten Iannis Xenakis en Edgard Varèse een synthese bracht van architectuur, beeld en klank.
Dit was in feite het eerste multimediaproject ter wereld.
Het paviljoen zelf was een betonnen constructie die bestond uit gematerialiseeerde delen van hyperbolische paraboloïden.
Een hyperbolische paraboloïde is een regeloppervlak met een gereduceerde vergelijking van de gedaante
Het is een oppervlak dat kan beschreven worden met twee stelsels rechte lijnen :
x/a + y/b = λz
x/a y/b = 2/λ
en
x/a + y/b = 2/μ
x/a y/b = μz
waarin λ en μ reële parameters voorstellen. Elke rechte lijn van een stelsel kruist elke andere rechte lijn van hetzelfde stelsel en snijdt elke rechte lijn van het andere stelsel.
Hieruit volgt, dat de vorm gemakkelijk - dus goedkoop - op te trekken is uit gewapend beton of met spankabels. De vorm is ook stevig, sierlijk, watert goed af en sneeuw glijdt eraf.
Daarom vindt de vorm soms toepassing in overkappingen van b.v. sportstadions, treinstations of luchthavens en ook als vorm voor kunstmatige heuvels, bijvoorbeeld naast autosnelwegen.
Bron: wikipedia.
Een regeloppervlak is een oppervlak waarbij door elk punt minstens één rechte (een beschrijvende of regel), die volledig tot het oppervlak behoort.
Bij een hyperbolische paraboloïde gaan er dus door elk punt van het oppervlak twee rechten die op dat oppervlak liggen:
Voor wie wat vertrouwd is met ruimtemeetkunde legt collega Ferdinand Develter in de tekst in bijlage uit
waarom t.o.v. een passend orthonormaal assenstelsel Oxyz de eenvoudigste vorm van een vergelijking van de hypar (hyperbolische paraboloïde) van de gedaante xy = y z is.
Hij voegt er ook een GeoGebrabestand aan toe met een constructie en wat uitleg.
Dit is een klassiek probleempje van logisch denken dat je ongetwijfeld gemakkelijk kunt oplossen.
Een man beschikt over een klein roeibootje. Hij moet een wolf, een schaap en een kool naar de andere oever overbrengen.
In het bootje is maar plaats voor de man en ofwel de wolf, ofwel het schaap, ofwel de kool.
Hij mag echter de wolf en het schaap nooit alleen laten (je kan wel raden wat er dan gebeurt) en ook het schaap mag hij niet alleen met de kool achterlaten.
Hoe legt hij het aan boord?
Dit probleem kwam reeds voor in een rekenboek van Bedius uit de zevende eeuw.
De tekst is in het Latijn geschreven en er is ook sprake van een geit i.p.v. een schaap: Propositio XIX. De lupo et capra et fasciculo cauli.
Volgens Wikipedia zijn Sangaku of San Gaku
(算額;
lett. wiskundige tablet) Japanse puzzels
die in kleur op houten tafels werden geschilderd gedurende de
zogenaamde Edoperiode (1603-1867).
Die tafels werden dan op het terrein van tempels en Shinto-kapellen
opgehangen
als offers aan de goden of als uitdagingen voor de leden van de congregatie.
Men kan sangaku dus beschouwen als 'stellingen zonder woorden' uit de vlakke
euclidische meetkunde.
Het bewijs ervan werd meestal niet gegeven.
Veel van de tafels gingen verloren gedurende de periode van modernisering na de
Edoperiode,
maar men kent er nu ongeveer negenhonderd die hebben overleefd.
Op de website http://www.wasan.jp/english/
staat een kaart van Japan met de voornaamste vindplaatsen van sangaku.
Een typisch probleem, gepresenteerd op een tafel uit 1824 in de prefectuur
Gunma,
gaat over de relatie tussen drie elkaar rakende cirkels met een
gemeenschappelijke raaklijn (zie figuur bovenaan deze pagina).
Als de stralen van de twee buitenste cirkels resp. r2 en r3 zijn en de straal van de middelste kleine cirkel r1 dan is het te bewijzen dat
Voor wie op zoek is naar een bewijs hiervan, verwijzen we naar de bijlage.
Op het internet kan men een groot
aantal van deze mooie en uitdagende sangaku vinden,
maar het bewijs ervan vraagt vaak heel wat parate kennis van vlakke euclidische
meetkunde.
Kijk bijvoorbeeld eens op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml .
Het Nederlands tijdschrift Pythagoras
besteedde de voorbije jaren bijzondere aandacht aan sangaku
en via hun webshop (www.pythagoras.nu)
kan je een mooie sangakuposter (zie bijlage) aankopen.
In bijlage zit ook nog het inspirerende eindwerk van een leerlinge van Hemelsdaele (Brugge) (toegevoegd in 2015).
Functies van het type f : IR -> IR : x -> f(x) = (ax + b)/(cx + d) met c ≠ 0 hebben in principe een gelijkaardige grafiek (een hyperbool) met een horizontale en een verticale asymptoot.
Dit verklaart ook de benaming: in het Grieks betekent homoios gelijksoortig en graphein schrijven of tekenen.
Het loont de moeite om zelf een dergelijk bestand op te bouwen met GeoGebra door gebruik te maken van schuifknoppen.
Onderzoeksvraag. Teken met een computerprogramma of met een grafische rekenmachine de grafiek van een homografische functie f : IR -> IR : x -> f(x) = (ax + b)/(cx + d) met c ≠ 0 en waarbij a = -d. Welke merkwaardige eigenschap stel je vast als je het functievoorschrift en de grafiek van de inverse functie f -1 bekijkt?
De lenzenwet
waarbij f de brandpuntsafstand is, v de voorwerpsafstand en b de beeldafstand is een mooie toepassing van homografische functies.
Kan je verklaren hoe men tot deze formule komt? En hoe groot is b als v = 15 cm en f = 5 cm?
Hieronder zie je hoe de beeldvorming gebeurt bij een lens:
Bron: UGent.
Je kan de plaats van het beeld bepalen bij een dunne convergerende lens (bolle lens) met volgende grafische constructie:
Straal 1 vertrekt vanuit V, gaat door O, en loopt rechtdoor.
Straal 2 loopt vanuit V evenwijdig met de hoofdas, en gaat na de lens door het brandpunt F1.
Straal 3 vertrekt vanuit V, gaat door brandpunt F1, en loopt na de lens evenwijdigmet de hoofdas. Deze straal snijdt de twee vorige stralen in punt B.
Ingrid Daubechies (geboren in 1954 in Houthalen) is een Belgische wis- en natuurkundige die wereldvermaardheid kent op het onderzoeksgebied van de wavelets. Wavelet-functies worden namelijk gebruikt om afbeeldingen te comprimeren. Dank zij deze techniek kunnen bijvoorbeeld foto's via e-mail verstuurd worden. Foto's en afbeeldingen worden niet alleen verstuurd via mail, maar met behulp van computerprogramma's, die in feite gebruik maken van elementaire wiskunde via pixels en coördinaten, kan men die ook gaan manipuleren.
Met behulp van grafische computertechnieken is men er zo in geslaagd een 'gemiddelde foto' samen te stellen uit een reeks foto's. Zo kan men o.a. uit een reeks pasfoto's een 'gemiddeld gezicht' samen stellen. Hieronder zie je hoe het gemiddeld gezicht van 10 jongens en van 10 meisjes er uit ziet. De foto's van de jongens en de meisjes werden willekeurig gekozen uit een grote reeks.
Voor een 'gemiddelde' wiskundige zijn er drie soorten gemiddelden van twee positieve getallen a en b belangrijk: - het rekenkundige gemiddelde r = (a+b)/2 - het meetkundig of geometrisch gemiddelde g = √(ab) - het harmonisch gemiddelde h = 2ab/(a+b).
In het algemeen is h ≤ g ≤ r. Het is een leuke uitdaging om dit via algebraïsch rekenwerk te bewijzen. Rond 300 na Chr. slaagde Pappus van Alexandrië er reeds in deze ongelijkheid op een meetkundige manier (een typisch Griekse manier) te bewijzen. Meer uitleg over beide bewijsmethoden vind je in de bijlage.
Het meetkundig gemiddelde van twee getallen heeft men bijvoorbeeld nodig bij berekeningen i.v.m. aangroei van een bepaalde grootheid. Als die grootheid het eerste jaar aangroeit met 10 % (factor 1,1) en het tweede jaar met 20 % (factor 1,2), dan is de gemiddelde aangroeifactor precies het meetkundig gemiddelde van die twee factoren: √ (1,1 x 1,2) = 1,1489 ... . Dit betekent dus dat men hetzelfde eindresultaat bekomt na twee jaar door telkens met de factor 1,1489... te vermenigvuldigen of dus dat de gemiddelde aangroei over die twee jaar 14,89 % bedraagt.
Het harmonisch gemiddelde van twee getallen heeft men nodig om bijvoorbeeld een gemiddelde snelheid te berekenen. Als iemand van Kortrijk naar Leuven (120 km) rijdt aan een gemiddelde snelheid van 60 km/u en terugkeert van Leuven naar Kortrijk met een gemiddelde snelheid van 120 km/u, dan bedraagt zijn gemiddelde snelheid over het gehele traject niet 90 km/u maar slechts 80 km/u (nl. 240 km in 3 uur). Het harmonisch gemiddelde van 60 en 120 is precies 80.
Weinigen weten dat er ook in Vlaanderen een kunstenaar tekeningen maakt in de stijl van Escher.
Zijn naam is Peter Raedschelders en enkele jaren geleden kwam hij op de Dag van de Wiskunde in Kortrijk uitleggen hoe hij te werk gaat bij het maken van zijn tekeningen.
Hieronder staat één van zijn meesterwerkjes afgebeeld. Alle informatie over de artiest en zijn werk vind je op zijn website: http://home.scarlet.be/~praedsch/
In de eerste bijlage legt Peter uit hoe je zelf een eenvoudige vlakvulling in de stijl van Escher kunt maken. Voor de tweede bijlage gaat onze dank uit naar de redactie van het tijdschrift Uitwiskeling. Ook deze werktekst zal je ongetwijfeld inspiratie bieden om een tekening in de stijl van Escher te maken.
Wellicht is het vouwen van een papieren vliegtuigje de meest gekende toepassing van origami ( 折り紙, Japans: 'ori', vouwen, en 'kami', papier ).
In de bijlage ontdek je hoe je een eenvoudig papieren vliegtuigje kunt vouwen dat bovendien vrij lang in de lucht blijft. Probeer maar eens !
Paper planes was een fameuze hit van M.I.A., artiestennaan van de Britse zangeres Mathangi Arulpragasam. Het lied is ook te horen in de succesrijke film Slumdog Millionaire (2008).
I fly like paper, get high like planes If you catch me at the border I got visas in my name If you come around here, I make 'em all day I get one down in a second if you wait
Op onze reis in het zonnige zuiden
van Frankrijk brachten we een bezoek aan het antieke theater van Orange,
een van de best bewaarde theaters uit het Romeinse Rijk.
Het is gebouwd in de 1ste eeuw n. Chr. en toen heette deze
stad Arausio.
In de 19de eeuw werd het theater grondig gerenoveerd en van de 10 000
zitplaatsen zijn er nu nog ongeveer 7 000 bewaard.
Over het aantal zitplaatsen in dit theater bedacht ik het volgende probleem.
Op de onderste rij zijn er 72 zitplaatsen. In totaal zijn er 35 rijen en per rij komen er 8 zitplaatsen bij. 1 Hoeveel zitplaatsen zijn er in rij 2, in rij 3, ... en in rij n? 2 Vanaf de hoeveelste rij zijn er meer dan 200 zitplaatsen? 3 Hoeveel zitplaatsen zijn er in totaal? 4 Volgens een toeristische brochure waren er oorspronkelijk meer dan 10 000 zitplaatsen in het theater. Hoeveel rijen waren er dan?
Oplossing. 1 Het aantal zitplaatsen in rij n is gelijk aan 72 + 8(n-1) = 8n + 64. 2 Los op: 8n + 64 > 200. Hieraan in voldaan als n > 17 is. In rij 17 zijn er precies 200 zitplaatsen. 3 Voor n = 35 bekom je 7 280 zitplaatsen. 4 Voor n = 43 is 4n² + 68n gelijk aan 10 320.
Tijdens een tussenstop in Avignon begin augustus 2010 botsten we op een intrigerend kunstwerk van Miquel Barceló, dat ter gelegenheid van de speciale tentoonstelling Terra-Mare van het werk van deze kunstenaar was ontleend uit de Galerie Bruno Bischlofberger in Zürich en opgesteld stond op het plein voor het Palais des Papes. Ondanks het feit dat heel wat toeristen even tegen deze reusachtige olifant kwamen leunen, bleef hij onwrikbaar in evenwicht staan.
Het herinnerde me er aan dat als een lichaam een steunvlak heeft, het niet zal omvallen zolang de loodlijn uit het zwaartepunt dit vlak snijdt.
Bij een driehoek is het zwaartepunt het snijpunt van de drie zwaartelijnen. Op de onderstaande figuur is het zwaartepunt Z van driehoek ΔABC getekend. Men kan gemakkelijk aantonen (hoe doe je dat?) dat de drie driehoeken ΔZAB, ΔZBC en ΔZCA dezelfde oppervlakte hebben en meteen kan je ook aantonen dat er zes even grote driehoeken op deze figuur staan, nl. ΔZAP, ΔZPB, ΔZBM, ΔZMC, ΔZCN en ΔZNA.
Tip. Waarom is de afstand van Z tot de zijde [BC] van de driehoek gelijk aan één derde van de hoogte uit A?
Het zwaartepunt van een vlakke figuur is dus het punt waaronder je een speld kunt plaatsen waarop de figuur dan in evenwicht zou kunnen blijven staan.
Bij een cirkelschijf is het middelpunt uiteraard het zwaartepunt. Maar weet je ook waar het zwaartepunt van een halve cirkelschijf ligt?
Dit probleem kan je oplossen met behulp van bepaalde integralen.
In bijlage vind je een powerpointpresentatie waarin de algemene formules voor de berekening van de coördinaten (Zx, Zy) van het zwaartepunt Z van een vlakke figuur terug te vinden zijn.
Probeer hiermee eens aan te tonen dat het zwaartepunt Z van een halve cirkelschijf (neem als vergelijking van de cirkel y = √(r² - x ²)) als coördinaten Zx = 0 en Zy = (4r)/(3π) heeft.
Door gebruik te maken van de zogenaamde stelling van Pappus kan je dit resultaat vrij direct verifiëren.
Stelling van Pappus
Als een vlakke figuur F wentelt rond een as die in hetzelfde vlak ligt en de vlakke figuur F niet snijdt, dan is de inhoud van het ontstane omwentelingslichaam gelijk aan het product van de oppervlakte van F en de omtrek van de cirkel beschreven door het zwaartepunt Z van F.
Hoe vind je hiermee de bovenstaande formules terug voor het zwaartepunt van een halve cirkelschijf ?
In bijlage vind je nog een uitdagende werkopdracht over het zwaartepunt van vlakke en van 3D-figuren. Bron: http://schoolweb1.rago.be
Tijdensonze zomervakantie brachten we een bezoek aan de eilandjes voor de kust
van Marseille,
o.a. aan het eiland waarop het Château d' If gelegen is.
Gelukkig zorgde de mistral die dag voor wat afkoeling ...
Het Château d'If is een fort en voormalige gevangenis op het
eiland If, het kleinste eiland van de Frioul-archipel.
Het fort is vooral bekend als een van de locaties uit de roman De graaf van
Monte Cristo van Alexandre Dumas.
Tijdens het bezoek aan dit merkwaardig bouwwerk dacht ik terug aan een logisch vraagstukje uit mijn studententijd.
Een
kasteel heeft twee uitgangen en aan elke uitgang staat een bewaker.
Eén van hen liegt altijd en de andere zegt altijd de waarheid.
De éne uitgang leidt naar de dood en de andere naar de vrijheid. Jij staat in het kasteel en weet niet
welke deur naar de dood of naar de vrijheid leidt
en je weet ook niet welke bewaker liegt of de waarheid spreekt.
Je mag één vraag stellen aan één van beide bewakers die enkel met ja of met nee
mag beantwoord worden
en uit het antwoord dat hij je geeft, moet je kunnen opmaken welke deur naar de
vrijheid leidt.
Welke vraag zal je stellen?
Oplossing.
Kies een
willekeurige uitgang en stel aan de bewaker die bij deze uitgang staat de
volgende vraag:
"Als ik aan uw collega zou vragen of hij bij de deur naar de dood staat,
wat zou hij dan antwoorden?"
Er zijn vier mogelijkheden en uit onderstaande schema blijkt dat je als antwoord
'NEE' zult krijgen
als je de vraag hebt gesteld aan de bewaker die bij de deur naar de vrijheid
staat
(onafhankelijk van het feit of die bewaker altijd liegt of steeds de waarheid
spreekt).
Bewaker aan wie je de vraag stelt
Antwoord dat de andere bewaker zou geven
Antwoord dat de bewaker geeft aan wie je de vraag stelt
Leugenaar bij de deur naar de dood
NEE, want hij staat bij de deur naar de vrijheid en zegt altijd de waarheid
JA, want hij liegt altijd
Leugenaar bij de deur naar de vrijheid
JA, want hij staat bij de deur naar de dood en zegt altijd de waarheid
NEE, want hij liegt altijd
Waarheidsspreker bij de deur naar de dood
JA, want want hij staat bij de deur naar de vrijheid en liegt altijd
JA, want hij spreekt altijd de waarheid.
Waarheidsspreker bij de deur naar de vrijheid
NEE, want want hij staat bij de deur naar de dood en liegt altijd
NEE, want hij spreekt altijd de waarheid.
Als je dus als antwoord NEE krijgt dan sta je bij de deur naar de vrijheid. Als het antwoord JA is, moet je de andere deur kiezen.
Tijdens de voorbije zomervakantie bracht ik samen met mijn vrouw Ingrid en
ik een bezoek
aan het fascinerende Vasarely-museum in het Zuid-Franse Aix-en-Provence.
In de Fondation Vasarely (zie: http://www.fondationvasarely.fr/) kom
je als wiskundige direct onder de indruk
van de meer dan 40 monumentale kunstwerken van de Frans-Hongaarse pop-art-kunstenaar
Victor Vasarely.
Hij speelt hier een subtiel spel met kleuren, optische effecten en vormen zoals
vierkanten en cirkels
in een aantal kunstwerken die schilderkunst, beeldhouwkunst en
bouwkunst met elkaar verzoenen.
In een aantal kunstwerken slaagt Vasarely er schijnbaar in om cirkels probleemloos te transformeren in even grote vierkanten en hiermee de kwadratuur van de cirkel op te lossen.
Dit wiskundig probleem bestaat er in om enkel met behulp van een passer en een liniaal een cirkel te construeren die even groot is als een gegeven vierkant.
Sedert 1882 weten we echter dat deze constructie onmogelijk is.
De zogenaamde stelling van Lindemann-Weierstrass bewees toen namelijk dat het getal pi transcendent is,
d.w.z. dat pi geen nulwaarde is van een veelterm met rationale coëfficiënten.
Hierdoor was meteen ook bewezen dat de kwadratuur van de cirkel onoplosbaar is ...
We hebben toch met volle teugen (fijne wijntjes uit de Rhônestreek) genoten van ons bezoek in Aix-en-Provence!
Jaren geleden was er op heel wat TV-zenders een
populair spelprogramma te zien met de naam 'Cijfers en letters'.
Dit programma was van Franse origine en kreeg oorspronkelijk de naam 'Des
chiffres et des lettres' mee.
De
twee kandidaten kregen twee soorten vragen voorgeschoteld:
met een reeks willekeurig gekozen letters moesten ze proberen een zo lang
mogelijk woord te vormen
en met 6 willekeurig getallen moesten ze een willekeurig gekozen getal zo
dicht mogelijk benaderen
door toepassing van de vier hoofdbewerking ( +, -, * , /).
Op de foto hieronder zie je dat de deelnemers met behulp van de getallen 8, 10, 2, 1, 5
en 50 moesten proberen 899 te vormen. Niet alle getallen moesten hiervoor gebruikt
worden.
Kan jij erin slagen om precies 899 te bekomen?
We
kloppen hiervoor even aan bij Aad van de Wetering uit het Nederlandse
driebruggen.
Spelen
met letters, woorden, zinnen, cijfers en getallen is een van zijn grootste
hobby's.
Ook schaken, scrabble, cryptogrammen en polyomino's genieten zijn warme
belangstelling.
Dank zij zijn iICT-toepassingen kan je heel wat leuke puzzels oplossen.
Hoe zou jij bijvoorbeeld door alle cijfers van 1 tot en met 9 precies één keer
te gebruiken
en door toepassing van de vier hoofdbewerkingen precies 1 000 als uitkomst
kunnen bekomen?
Zijn programma 'REKEN' (te vinden op zijn website) helpt je probleemloos aan de
oplossing.
Voer
bij 'Basisgetallen' de cijfers of getallen in waarmee je wilt rekenen
(gescheiden door een spatie)
en plaats in het vakje 'Resultaatgetallen' de te vormen uitkomst.
Kies bv. 'Alle getallen' als je alle basisgetallen wilt gebruiken, klik
dan op 'Start rekenen' en je vindt dat
Als je erin slaagt dit probleem binnen één minuut op te lossen, dan heb je vast een IQ van minstens 120.
Drie groene en drie bruine kikkers bevinden zich op een spelbord met zeven vakjes. Het is de bedoeling dat de groene kikkers springen naar de drie meest rechtse vakjes en de bruine kikkers naar de drie meest linkse vakjes. Een kikker kan de volgende sprongen uitvoeren: - één vakje vooruit als dit vakje leeg is - over één kikker heen als het vakje net achter deze kikker leeg is. Een sprong eindigt dus steeds op een leeg vakje.
In bijlage vind je een interactieve versie van dit spelletje.
Een flippo
is de benaming voor een schijfje dat gratis bij de chips van Smiths zat.
Op een flippo werden o.a. stripfiguren (zoals de Pokemon-figuren) en voetbalspelers
afgebeeld.
In België en Nederland werd de flippo voor het eerst geïntroduceerd in 1995,
waarna er een ware rage ontstond.
Vooral bij
kinderen van de basisschoolleeftijd was de flippo om te verzamelen en onderling
te ruilen erg populair.
Ook werden met de flippo verschillende spelletjes gespeeld;
deze werden zowel door de fabrikant als de kinderen zelf verzonnen
en meestal was het doel hiervan het winnen van andermans flippo's.
(Bron:
wikipedia)
Maar er waren ook flippo's waarmee je het '24-spel' kon spelen.
Op deze
flippo's stonden vier cijfers afgebeeld en het was de bedoeling
om hiermee via de vier hoofdbewerkingen ( +, - , x en :) precies 24 te vormen.
Alle cijfers moesten bovendien precies één keer gebruikt worden.
Op de website van het Nederlandse Freudenthalinstituut (http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00008/)
kan je dit spelletje,
dat de rekenvaardigheid stimuleert en bovendien de volgorde van de
bewerkingen leert te gebruiken, online spelen.
Onze Nederlandse collega Matthijs Coster heeft op zijn website een rubriek
geplaatst over het flippospel.
Je vindt er een aantal opgaven met een stijgende moeilijkheidsgraad en een
programmaatje Flippo,
dat niet alleen een opgave met moeilijkheidsgraad naar keuze op je afstuurt,
maar bovendien ook de oplossing(en) ervan geeft.
Meer leuke probleempjes vind je in filmpjes op 
Voor wie wat vertrouwd is met ruimtemeetkunde legt collega Ferdinand Develter in de tekst in bijlage uit 
In bijlage vind je een 'bewijs' van de lenzenwet.
