Beste bezoeker,

Welkom op deze GNOMON-weblog waar wiskunde het centrale thema is.

Wat betekent 'GNOMON'?
Volgens Van Dale's Groot Woordenboek is een gnomon een getal dat bij een kwadraatgetal moet gevoegd worden om een nieuw kwadraatgetal te bekomen. 

Zo is  0² + 1 = 1
         1² + 3 = 2²
            2²  + 5 = 3²

of algemeen : n² + (2n+1) = (n+1)².
Hieruit kan men besluiten dat de oneven getallen 'gnomons' zijn.

Het waren de volgelingen van Pythagoras (rond 500 v. Chr.) die opmerkten dat men deze eigenschap van kwadraten ook op een visuele manier kan voorstellen. Vierkante getallen en gnomons werden dan ook op een figuratieve manier voorgesteld zoals in het GNOMON-logo :

Dit betekent m.a.w. dat de som van opeenvolgende oneven natuurlijke getallen steeds een kwadraat oplevert:
1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²
enzovoort ... 

Langs deze weg stuur ik meteen ook een eresaluut aan alle oud-leerlingen die ik de voorbije 35 jaar hopelijk iets kon bijbrengen in mijn wiskundelessen.

Dit is een niet-commerciële website.
Op deze weblog heb ik geprobeerd telkens de bronnen te vermelden.
Indien iemand toch meent onrecht aangedaan te zijn omdat er hier een verwijzing staat naar zijn/haar materiaal of omdat er materiaal met copyrights werd gebruikt, dan kan die persoon in elk geval contact opnemen.

 


Hopelijk zoek je wat je hier vindt!
Dr. Luc Gheysens
1 mei 2009

01-05-2009 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

In een perfecte wereld ...
zou het bewijs van heel wat wiskundige stellingen
veel eenvoudiger moeten zijn.

Daarom stellen we hier een nieuw bewijs voor
van de stelling van Pythagoras.

De vlieger van Pythagoras




Op de linkse figuur staat een vierhoek afgebeeld die men een vlieger noemt.
Deze vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken.
Wanneer je deze twee driehoeken op een andere manier tegen elkaar plaatst,
bekom je de rechtse figuur, die een gelijkbenige driehoek is.
Uiteraard hebben beide figuren dezelfde oppervlakte.

Een gekende formule voor de oppervlakte van een driehoek is de volgende:
"De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan
het halve product van twee zijden vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek".

Door deze formule op beide figuren toe te passen,
bekom je een vrij eenvoudig bewijs
van de stelling van Pythagoras.

Lees de bijlage!

Op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
heeft professor Alexander Bogomolny (University of Iowa)
heel wat bewijzen verzameld.

De Engelstalige uitleg over 'de vlieger van Pythagoras'
vind je op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof80p.shtml.

Bijlagen:
De vlieger van Pythagoras.pdf (224.6 KB)   

Het toelatingsexamen bestaat twee examengedeelten:
 Kennis en Inzicht in de Wetenschappen (KIW)
(biologie, fysica, chemie en wiskunde)
en Informatie Verwerven en Verwerken (IVV).
Alle vragen zijn meerkeuzevragen.

Om te slagen moet je tenminste 10 op 20 halen voor het deel KIW,
tenminste 10 op 20 voor het gedeelte IVV
en tenminste 22 op 40 voor beide proeven samen.

Om het gokken tegen de gaan past de examencommissie giscorrectie toe.
Juist antwoord: +1.
Verkeerd antwoord bij 5 antwoordmogelijkheden =  -1/4.
Geen antwoord: 0.

Alle informatie vind je op http://www.ond.vlaanderen.be/toelatingsexamen/.

In bijlage zit in de informatiebrochure waarin de leerstofafbakening vermeld staat
en een reeks oefeningen (met oplossingen)
over procentberekening, verhoudingen en stelsels.

De onderstaande videoclip legt uit hoe je
het antwoordformulier correct invult.

Bijlagen:
brochure-toelatingsexamen-arts-tandarts-2012.pdf (768.8 KB)   
Oplossingen procenten en stelsels.pdf (336 KB)   

In bijlage vind je wat uitleg en een reeks opgaven met oplossingen
ter voorbereiding van de toelatingsproef voor arts en tandars.
Ze sluiten aan bij de volgende leerstofonderdelen:

           Voor statistiek is het aan te bevelen de zogenaamde 68-95-99,7-regel te kennen
voor de normale verdeling, die we te danken hebben aan C.F. Gauss.

Ter informatie: de klokkromme van Gauss is bepaald door de functie met als voorschrift



waarin μ het gemiddelde is en σ de standaardafwijking.
En heb je opgemerkt dat ook het getal π hierin opduikt !?





 

Bijlagen:
Aanvulling meerkeuzevragen kansrekenen.pdf (521.1 KB)   
KIW_Statistiek en kansrekenen tekst en opgaven.pdf (278.7 KB)   
STATISTIEK EN KANSREKENING_oplossingen.pdf (127.2 KB)   

Op http://hhofstede.nl/modules/kansbomen.htm 
vind je een aantal mooie toepassingen over kansbomen.



Bij het oplossen van problemen van kansrekenen
via een zogenaamde kansboom
maakt men vaak gebruik van voorwaardelijke kansen.

Bekijk eens het volgende probleem.

Ik heb een sleutelbos met daaraan 4 sleutels.
In het donker moet ik mijn schuur open doen, dus de schuursleutel vinden.
Ik probeer ze in willekeurige volgorde gewoon één voor één.
Hoe groot is de kans dat ik bij de tweede of de derde sleutel succes heb?

Via de onderstaande kansboom (met S = succes en NS = geen succes)
zie je dat de er twee gunstige takken zijn
en zo kom je tot een kans die gelijk is aan

(3/4) . (1/3) + (3/4) . (2/3) . (1/2) = 1/2.



(3/4) . (1/3)  bekomt men als de kans dat de tweede sleutel past op het slot en de eerste niet.
Hierbij is 1/3 de voorwaardelijke kans dat de tweede sleutel past op voorwaarde dat de eerste niet past.

Merk op: (3/4) . (2/3) . (1/2) = 1/4
en ook (3/4) . (2/3) . (1/2) = 1/4.

Dit betekent in feite dat de kans op succes bij elk van de vier sleutels even groot is en gelijk aan 1/4.
Logisch toch!?

Je komt meer te weten over voorwaardelijke kansen via de bijlage.

Bijlagen:
VOORWAARDELIJKE KANS EN KANSBOMEN.pdf (173.6 KB)   

De rij van de Fibonaccigetallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
blijft heel veel wiskundigen fascineren.

Geregeld duiken nieuwe verbanden op tussen deze getallen.
Als we deze rij getallen voorstellen met F₀, F₁, F₂, ... , F_n , ...
dan kan men in het algemeen bewijzen dat

(F₀)² + (F₁)² + (F₂)² +  ... (F_n)² = F_n . F_n+1  
 (met F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2 enz ...)

Zo is bijvoorbeeld voor n = 3: 1² + 1² + 2² + 3² = 3 . 5
en voor n = 4: 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 . 8

Hieronder zien we een bewijs voor n = 7. Zie jij dit ook?
En zie je in dat je aan de hand van zo een tekening
eigenlijk ook een algemeen 'bewijs zonder woorden' kunt geven?

29-04-2012 om 17:35 geschreven door Luc Gheysens  

Op zijn website http://fabpedigree.com/james/mathmen.htm onderneemt James Dow Allen een poging om een top-100 op te stellen van de grootste wiskundigen aller tijden. Hieronder staat zijn top-12. Ik kan me best vinden in zijn keuze.
Ken jij (vanuit de wiskundelessen) de verdiensten van elk van hen?

Klik op een naam voor meer Engelstalige informatie over die wiskundige.

Merk op: Alexander Grothendieck (geboren in Berlijn in 1928) is de enige uit deze top-12 die momenteel nog in leven is. Hij wordt algemeen aanzien als één van de grootste wiskundigen van de 20ste eeuw.

Isaac Newton	Archimedes	Carl Friedrich Gauss	Leonhard Euler	Bernhard Riemann	Euclides
Henri Poincaré	J.-L. Lagrange	David Hilbert	G.W. Leibniz	Alex. Grothendieck	Pierre de Fermat

28-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

  

Gaspard Monge (1746 - 1818)
was een eminente Franse wiskundige
die de beschrijvende meetkunde op punt stelde.

Aan hem danken we  één van de mooiste stellingen
uit de vlakke meetkunde, waarin drie cirkels voorkomen.
Ze worden daarom ook wel de cirkels van Monge genoemd.




Teken in een vlak drie cirkels met een verschillende straal
en teken ook de uitwendige raaklijnen aan elk paar van deze cirkels.
Noem A, B en C de snijpunten van deze paren raaklijnen.
Dan liggen A, B en C op één rechte lijn.

In bijlage vind je twee bewijzen voor deze stelling.

Het eerste bewijs is een eenvoudig '3D-bewijs'
waarbij de cirkels bekeken worden
als de doorsnede van een vlak met drie bollen.

Het tweede bewijs maakt gebruik van de stelling van Thales.

Bijlagen:
De cirkels van Monge.pdf (154.9 KB)   

 

Vierkanten blijken heel wat wiskundigen te fascineren.

Ze duiken bijvoorbeeld op in optische illusies.
Op de bovenstaande figuur staan geen kromme lijnen.
Neem even een latje erbij en overtuig jezelf van het feit
dat de horizontale en verticale lijnen in de figuur recht zijn.

Ook kunstenaars zoals Piet Mondriaan en Victor Vasarely
gebruikten vaak vierkanten in hun abstracte composities.

        
  Mondriaan                                           Vasarely  

Hieronder staat het vierkant afgebeeld dat mij als wiskundige het meest fascineert.



De rechthoekszijden van de rode driehoek ABO hebben als lengte 2 en 4.
Het vierkant ABCD wordt door de rechten OA en OB in vier stukken verdeeld
met als oppervlakte 1, 4, 4 en 11.

De punten E en F liggen in het midden van een zijde van het vierkant.

De lijnstukken [AF] en [BE] worden door het punt O
in stukken verdeeld met als lengte 1, 2, 3 en 4.

En waar zit 5?
Dit is uiteraard de lengte van [AF] en van [BE]
maar ook de gemiddelde oppervlakte van de vier gekleurde delen van het vierkant!



 

27-04-2012 om 00:00 geschreven door Luc Gheysens  

Een op vijf Belgische kinderen te dik

Van de Belgische kinderen tussen de 10 en de 12 jaar heeft 21 procent overgewicht.
Zo'n 6 procent heeft extreem overgewicht.
België scoort daarmee na Noorwegen het best van zeven onderzochte Europese landen.
Dat meldde het academisch ziekenhuis van de Vrije Universiteit Amsterdam.   
Bron: Het Nieuwsblad 26/04/2012

Om na te gaan of een volwassen persoon al dan niet overgewicht heeft, kan men de zogenaamde Body Mass Index (BMI) berekenen. De BMI werd geïntroduceerd in de 19de eeuw door de Belgische statisticus Adolphe Quetelet, en wordt daarom in Nederland en België ook vaak Queteletindex(QI) genoemd.

De BMI van een volwassen persoon wordt als volgt berekend (en om helemaal correct te zijn zou er in de teller van de formule moeten 'lichaamsmassa' staan):

 

In bijlage vind je twee eenvoudige problemen in verband met de BMI.

Bijlagen:
BMI.pdf (295.5 KB)