(Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors")
§ 9.5- Het Onmeetbare Getal met Fred Schuh
I- Inleidende Bemerking: Aan de andere oever van de ezelsbrug (pons asinorum)
In het cursiefje « Vlakke Meetkunde in het Lager Onderwijs » (blog I) heb ik het gehad over een Meester Berghmans, de stelling van Pythagoras en de fameuze « pons asinorum », waarover mijn onderwijzer nogal erg geheimzinnig deed.
Ik heb mij toen al afgevraagd wat er dan wel aan de andere oever van die ezelsbrug te beleven viel? Deze kwestie liet mij niet los en stilaan is bij mij het vermoeden gegroeid dat hij doelde op de onmeetbare ofte irrationale getallen (1) , getallen die met een waas van geheimzinnigheid omringd zijn.
En deze geheimzinnigheid, deze terughoudendheid bestond niet alleen bij de Pythagoreeërs Een Eliane Cousquer (2) bevestigt dit uitdrukkelijk. Vele wiskundigen uit de 16de en 17de eeuw hadden veel moeite met deze onmeetbare getallen, die ze irrationele getallen (nombres irrationnels) noemden. Een Newton bvb noemde in zijn «Arithmétique Universelle» de onmeetbare getallen des « nombres sourds ». En het woord «sourd» was de vertaling van een Arabisch woord dat «irrationeel» betekende
Irrationeel betekent in het Nederlands onredelijk, tegen de rede in; vandaar dat deze getallen later irrationaal genoemd werden.. Het woord irrationeel stootte wellicht teveel tegen de borst.
In de Cadettenschool had ook de Muis in zijn algebralessen iets verteld over de irrationale getallen en de sneden van Dedekind. Het onderwerp werd trouwens zeer summier behandeld in het Complement der Algebra van Devaere Herbiet. En de kern van het probleem was mij toen nog volkomen ontgaan...
Toen ik nu in 1960 merkte dat Schuh ook een boek over onmeetbare getallen geschreven, werd mijn belangstelling voor deze geheimzinnige getallen opnieuw gewekt. Vooral nadat ik de lovende bewoordingen las waarmede deze monografie achteraan in het Voorbereidend Deel van Schuhs Differentiaal en Integraalrekening aangeprezen werd:
Uit Euclides 3de jaargang 1926/27 blz. 102-103
Door de verschijning van dit boek is de Nederlandse wiskundige literatuur weer een zeer belangrijk werk rijker geworden; waarmee ik niet zeggenwil, dat dit boek geen recht heeft op belangstelling buiten onze landsgrenzen, want een werk, dat de theorie van het reële getal zo van alle kanten bekijkt, bestaat voor zover ik weet in het buitenland niet .
Uit het Weekblad voor Gymnasiaal en Middelbaar Onderwijs (23 Maart 1927 blz. 963-968)
. De zakelijke en glasheldere betoogtrant, uit zijn vorige werken reeds voldoende bekend, vindt men hier terug. Men weet niet, wat méér te bewonderen is in deze schrijver: het voortdurend vasthouden aan de grote lijn, of de pijnlijke nauwgezetheid in het verzorgen van details. Samenvattend: een werk, welks verschijning we met vreugde en dankbaarheid begroeten
Eigenaardig genoeg was er nu bij Schuhs getallenleer, zoals samengevat in zijn Voorbereidend Deel tot de Differentiaal- en Integraalrekening, van al deze geheimzinnigheid en irrationaliteit van de onmeetbare getallen niets te merken. Ook vermeed Schuh het woord irrationaal getal en had hij het steeds over onmeetbaar getal.
De achtereenvolgende getallenuitbreidingen, inclusief de onmeetbare getallen gebeurden bij Schuh als volgt (zie voorgaand cursiefje): A- De Natuurlijke Getallen → B- De Positieve Meetbare Getallen → C- De Niet- Negatieve reële Getallen → D- De Reële Getallen → E- De Complexe Getallen
Het was onder C- De negatieve reële getallen dat de onmeetbare getallen geïntroduceerd werden, maar daar was niets speciaals op aan te merken. De uiteenzetting was glashelder en gemakkelijk te volgen.
Bevreemdend was echter wel de naam Baudet (3) . Hij bleek de man te zijn die een nieuwe theorie (4) over de onmeetbare getallen had geformuleerd. Blijkbaar bestonden er meerdere theorieën over de onmeetbare getallen .
II- Schuhs « Het getalbegrip in het bijzonder het onmeetbare getal » (-1927-)
In het Voorwoord van deze belangrijke monografie, schreef de auteur het volgende:
....Reeds lang bestond bij mij het voornemen een leerboek te schrijven, waarin de verschillende theorieën van het onmeetbaar getal streng en volledig behandeld en met elkaar vergeleken worden. Gerust kan gezegd worden, dat aan zulk een leerboek een grote behoefte bestaat. Toen nu de heer P. Wijdenes mij verzocht in het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde een artikel te schrijven over het onmeetbare getal, ben ik daartoe aanstonds overgegaan. Reeds van het begin af was ik mij bewust, dat de stof, wil ze geheel tot haar recht komen, voor één aflevering te omvangrijk is en dus over meerdere afleveringen zou moeten worden verdeeld. Het bleek mij echter meer en meer, dat een grondige bespreking meer ruimte eiste dan met een tijdschriftartikel overeenkomt; daarenboven was ik in de behandelingswijze vrijer, zo mijn beschouwingen over het onmeetbare getal in boekvorm verschenen, daar dan ook de zo belangrijke aansluiting aan de Differentiaal- en Integraalrekening kon worden opgenomen, alsmede de zuiver analytische invoering der goniometrische functies met behulp van reeksen en integralen...
Het werk werd opgedragen aan de nagedachtenis van Pierre Joseph Henry Baudet (22 januari 1891- 25 december 1921).
Ziehier nu een gedetailleerde inhoud van hetboek:
Hoofdstuk 1 Algemene beschouwingen over het stelsel van getallen
§1 - §4 volgorde der invoering §5 - §10 getallen als verzamelingen van gelijke elementen §11 - §16 overdracht van definities van elementen op de daardoor gerepresenteerde getallen §17 - §18 grondeigenschappen en afgeleide eigenschappen §19 - §20 afgeleide eigenschappen der rechtstreekse verbindingen §21 - §28 omgekeerde hoofdverbindingen §29 - §35 gevolgtrekkingen uit de grondeigenschappen
Hoofdstuk 2 Invoering van het getal nul en van de negatieve en de gebroken getallen
§36 - §39 invoering van het getal nul §40 - §49 invoering der negatieve getallen §50 - §56 invoering der gebroken getallen §57 - §59 overzicht over de gevormde getalstelsels §60 - §61 verdere uitbreiding van het getalstelsel
Hoofdstuk 3 Invoering der onmeetbare getallen volgens Cantor
§62 - §3 fundamentaalrijen §64 - §66 meetbare en onmeetbare fundamentaal rijen §67- §72 monotone fundamentaalrijen §73 - §77 gelijkheid van fundamentaalrijen §78 - §80 optelling van reële getallen §81 - §82 vermenigvuldiging van reële getallen §83 - §86 groter en kleiner bij reële getallen §87 - §88 bewijzen van de grondeigenschappen der optelling en vermenigvuldiging voor reële getallen §89 bewijzen van de grondeigenschappen der volgorde voor reële getallen §90 - §91 bewijzen van de grondeigenschappen der omgekeerde verbindingen §92 insluiting van onmeetbare getallen door meetbare §93 - §95 meetbare en onmeetbare getallen gelegen tussen twee reële getallen §96 limiet van een fundamentaalrij §97 - §100 convergente en divergente varianten §101 - §104 voorstelling van een positief onmeetbaar getal door een oneindig voortlopende decimale breuk §105 - §107 een oneindig voortlopende decimale breuk als reëel getal §108 - §113 stelling van de bovenste grens
Hoofdstuk 4 Invoering der onmeetbare getallen volgens Dedekind
§114 - §118 snede van Dedekind §119 eigenschap der klassen van een snede §120 - §123 gelijkheid van sneden §124 - §126 optelling van positieve reële getallen §127 - §129 vermenigvuldiging van positieve reële getallen §130 - §133 groter en kleiner bij positieve reële getallen §134 - §135 bewijzen van de grondeigenschappen der optelling en vermenigvuldiging voor positieve getallen §136 - §137 bewijzen van de grondeigenschappen der volgorde voor positieve reële getallen §138 - §141 omgekeerde verbindingen bij positieve reële getallen §142 snede in de positieve reële getallen §143 - §144 uitbreiding tot het stelsel der reële getallen §145 - §146 sneden in de meetbare getallen §147 - §148 product van sneden in de meetbare getallen §149 - §151 grondeigenschappen der vermenigvuldiging van sneden in de meetbare getallen §152 - §154 distributiviteit der vermenigvuldiging van sneden in de meetbare getallen §155 bewijs der stelling van de bovenste grens
Hoofdstuk 5 Invoering der onmeetbare getallen volgens Baudet:
§156 - §157 getalverzamelingen §158 - §159 gelijkheid van getalverzamelingen §160 - §161 niet-negatieve reële getallen §162 - §164 optelling van niet-negatieve reële getallen §165 - §166 vermenigvuldiging van niet-negatieve reële getallen §167 - §169 groter en kleiner bij niet-negatieve reële getallen §170 - §171 bewijzen van de grondeigenschappen der volgorde voor de niet-negatieve reële getallen §172 - §174 aftrekking en deling van niet-negatieve reële getallen §175 uitbreiding tot het stelsel der reële getallen §176 - §178 bewijs der stellingen van de bovenste en onderste grens
Hoofdstuk 6 Invoering der onmeetbare getallen volgens Weierstrass
§179 - §182 convergente aggregaten §183 - §185 gelijkheid van aggregaten §186 - §188 optelling van niet-negatieve reële getallen §189 - §191 vermenigvuldiging van niet-negatieve reële getallen §192 - §195 groter en kleiner bij niet-negatieve reële getallen §196 - §198 een niet-negatief reëel getal als oneindig voortlopende decimale breuk §199 - §200 aftrekking en deling van niet-negatieve reële getallen §201 - §202 bewijs der stellingen van de bovenste en onderste grens
Hoofdstuk 7 De stelling van de bovenste grens als grondslag van de theorie der varianten en der functies:
§203 - §205 rol van de stelling der bovenste grens §206 - §208 convergente varianten §209 - §210 monotone varianten §211 - §212 stelling omtrent een rij gesloten intervallen §213 - §214 convergentiebeginsel van Cauchy §215 - §216 oneindig voortlopende reeksen §217 - §220 ontwikkeling van een niet-negatief getal in een oneindig voortlopende decimale breuk §221 - §224 continuïteit van een functie §225 - §226 stelling betreffende het nul worden van een continue functie §227 - §229 inverse van een monotone continue functie §230 bestaan van wortels uit positieve getallen §231 - §234 eigenschappen van oneigenlijke machten §235 - §237 limiet van ax voor x → 0 §238 - §241 onmeetbare exponenten §242 - §243 continuïteit der exponentiële functie §244 - §245 continuïteit der machtsfunctie §246 - §247 logaritmen
Hoofdstuk 8 De rol van de stelling der bovenste grens in de differentiaalrekening
§248 - §250 onbegrensde en begrensde functies in een gesloten interval §251 - §252 maximum van een continue functie in een gesloten interval §253 - §256 differentieerbaarheid van een functie §257 - §258 theorema van Rolle §259 - §260 middelwaardestelling §261 - §264 gevolgen van de middelwaardestelling §265 differentieerbaarheid van een inverse functie
Hoofdstuk 9 Invoering der goniometrische functies met behulp van reeksen:
§266 - §267 de functies sin(x) en cos(x) gedefinieerd door reeksen §268 afleiding der goniometrische functies §269 - §271 periodiciteit van sin(x) en cos(x) §272 - §273 nulpunten van sin(x) en cos(x) §274 het stijgen en dalen van sin(x) en cos(x) §275 de afgeleiden van sin(x) en cos(x) §276 - §278 de functies tg(x) en cotg(x) §279 - §282 cyclometrische functies §283 afgeleiden van cyclometrische functies §284 reeksontwikkeling van bgtg(x) §285 - §290 toepassing der goniometrische functies op hoeken §291 - §292 de exponentiële functie gedefinieerd als reeks §293 afgeleide van ex §294 de natuurlijke logaritme §295 - §296 reeksontwikkeling van ln(1 + x)
Hoofdstuk 10 Invoering der cyclometrische en der goniometrische functies met behulp van integralen
§297 - §298 gelijkmatige continuïteit van een functie §299 - §300 definitie van een bepaalde integraal §301 - §303 bewijs van het bestaan van een bepaalde integraal §304 - §309 eigenschappen van bepaalde integralen §310 middelwaardestelling der integraalrekening §311 - §312 hoofdstelling der integraalrekening §313 - §314 invoeren van nieuwe veranderlijken in een bepaalde integraal §315 - §317 oneigenlijke bepaalde integralen §318 - §319 definitie van bgtg(x) als bepaalde integraal §320 reeksontwikkeling van bgtg(x) §321 - §322 optellingstheorema van bgtg(x) §323 - §324 de inverse functie van bgtg(x) §325 - §327 uitbreiding der definitie van tg(x) §328 - §330 definitie van sin(x) en cos(x) §331 - §332 afgeleiden der goniometrische functies §333 - §335 reeksontwikkelingen van sin(x) en cos(x) §336 - §337 de natuurlijke logaritme gedefinieerd als integraal §338 reeksontwikkeling van ln(1 + x) §339 optellingstheorema van ln(x) §340 de inverse functie van ln(x) §341 - §342 reeksontwikkeling van ex
Hoofdstuk 11 Vergelijkende beschouwingen over de theorieën van het onmeetbare getal
§343 - §346 gelijkvormige getalstelsels §347 getalstelsels waartoe ieder meetbaar getal behoort §348 - §351 invariantie der gemeenschappelijke getallen bij het afbeelden §352 - §353 gelijkvormigheid van getalstelsels waarvoor de stelling van de bovenste grens geldt §354 - §357 volledigheid van het stelsel der reële getallen §358 - §359 stellingen die gelijkwaardig zijn met de stelling van de bovenste grens §360 - §362 volledigheidsstelling §363 - §364 onmogelijkheid van wijziging der definities van som en product der reële getallen §365 - §368 onmogelijkheid van wijziging der definities van som, product en groter bij twee meetbare getallen §369 axiomatische opbouw der Rekenkunde
(Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors)
§ 9.4 Hogere Algebra met Fred Schuh (I)
In 1968 slaagde ik er eindelijk in Schuhs tweedelig « Nieuw Leerboek der Hogere Algebra » aan te kopen bij de boekhandel de Sleghte in Antwerpen. Het eerste deel van dit uitstekende leerboek dateerde van 1943, het tweede deel van 1944 en zoals het driedelig Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening waren ook deze boeken gedrukt op oorlogspapier met de gevolgen van dien. Dit nieuwe leerboek moest Schuhs « Beknopte Hogere Algebra » (1926) te vervangen. Toch waren er duidelijk verschilpunten met het oude leerboek en in het Woord vooraf schreef Schuh nopens deze verschilpunten het volgende:
.. 1° Er is een stelselmatiger indeling van de stof: Het getalbegrip is meer naar voren gebracht, waardoor de behandeling van de complexe getallen aan de eigenlijke hogere algebra voorafgaat. De theorie der reële getallen is bekend ondersteld; alleen het resultaat van die theorie, de stelling van de bovenste en die van de onderste grens, is vermeld. Voor het werken met reële getallen heeft men daaraan, in verband met het geldig blijven van de gewone rekenregels genoeg. Wie zich over het reële getal, en ook over de deelbaarheidseigenschappen van natuurlijke getallen, volledig wil oriënteren, raadplege het Eerste Deel (Voorbereiding) van mijn Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening, waarin het getalbegrip ontwikkeld wordt uitgaan de van het natuurlijke getal. Ook het limietbegrip en de hiermede in nauw verband staande continuïteit is meer naar voren geschoven. Dot heeft medegebracht, dat de afgeleide van een veelterm niet is ingevoerd op een wijze, die alleen op een veelterm van toepassing is, maar als een bijzonder geval van het algemene begrip afgeleide optreedt
.. 2° Er is een vollediger behandeling van de stof: Verschillende onmisbare, min of meer elementaire onderwerpen, die toch aan de meeste gebruikers van dit boek tenminste ten dele onbekend zullen zijn, heb ik daarin opgenomen. In het bijzonder noem ik volledige inductie, permutaties en combinaties, de polynomiaal- en binomiaal-formule, rekenkundige en reken-meetkundige reeksen van hogere orde, wederkerige vergelijkingen. Daardoor wint het boek aan bruikbaarheid, doordat het ter hand genomen kan worden door ieder, die de lagere algebra van de H.B.S (B) of het Gymnasium β kent. Het boek is dan tevens een geschikte voorbereiding voor Deel I Voorbereiding van mijn Leerboek van Differentiaal- en Integraalrekening
.. 3° Er is een betere behandeling van de stof: Op verschillende plaatsen is de behandeling van de stof verbeterd. In het bijzonder wil ik de aandacht vestigen op de grote verbetering, die de behandeling van de meetbare wortels van een hogere machtsvergelijking en die van de verschillende stellingen over het scheiden van de reële wortels heeft ondergaan
.. 4° Er is een kortere behandeling van de stof: Niettegenstaande de noodzakelijke uitbreiding, die aan de stof gegeven is, is de omvang kleiner geworden. Dit is bereikt doordat enkele bewijzen (bvb. dat van het theorema van dAlembert) door kortere zijn vervangen, en verder doordat van twee bewijzen alleen het korstte en eenvoudigste is gegeven, doordat onnodige uitweidingen zijn weggelaten en vooral doordat de aanwijzingen bij de vraagstukken (waarvan het aantal sterk is gestegen) sterk zijn bekort .
Het eerste deel, waarvan sprake is in dit cursiefje, droeg als ondertitel Determinanten en Vergelijkingen telde 519 vraagstukken, en handelde over reële en complexe getallen, determinanten en lineaire vergelijkingen, limieten en continuïteit, hogere machtsvergelijkingen en het bepalen van de meervoudige en van de meetbare wortels, het scheiden en benaderen van de reële wortels, bijzondere hogere machtsvergelijkingen, symmetrische veeltermen en de eliminatiemethoden. Ziehier nu een inhoudsoverzicht van het eerste deel: A- Voorbereiding
Hoofdstuk 1 Beschouwingen over reële getallen:
1- Volledige inductie §1 bewijs door volledige inductie §2 voorbeelden van volledige inductie §3 onvolledige inductie §4 volledige inductie naar n §5 wijziging der volledige inductie
2- Permutaties en combinaties §6 permutaties §7 variaties §8 combinaties §9 herhalingscombinaties §10 permutaties van n elementen waaronder gelijke §11 verdeling in hoopjes
3- Reële getallen §12 het stelsel der reële getallen §13 stelling van de bovenste grens §14 stelling van de onderste grens §15 het begrip interval
Hoofdstuk 2 Complexe getallen
1- Bewerkingen met complexe getallen §16 definitie der complexe getallen §17 optelling van complexe getallen §18 vermenigvuldiging van complexe getallen §19 kanonische schrijfwijze der complexe getallen §20 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der aftrekking §21 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling §22 toegevoegd complexe getallen
2- Modulus en argument §23 modulus van een complex getal §24 modulus van een product of quotiënt §25 modulus van een som §26 argument van een complex getal §27 argument van een product of quotiënt §28 formule van De Moivre
3- Meetkundige voorstelling §29 meetkundige voorstelling van een complex getal §30 voorstelling door een vector §31 meetkundige voorstelling der optrekking §32 meetkundige voorstelling der aftrekking §33 meetkundige voorstelling der vermenigvuldiging §34 meetkundige voorstelling der deling §35 voorbeeld ter toelichting
Hoofdstuk 3 Stellingen over complexe getallen
1- Iets over binomiaal vergelijkingen §37 zuivere vierkantsvergelijking §38 andere behandeling van de zuivere vierkantsvergelijking §39 vierkantsvergelijking in z² §40 binomiaalvergelijking van willekeurige graad
2- Iets over veeltermen §41 veelterm in z §42 deelbaarheid van veeltermen §43 reststelling §44 rekenwijze van Horner §45 rangschikking naar machten van z a §46 grootste aantal wortels van een nde machtsvergelijking §47 interpolatieformule van Lagrange
3- Polynomiaal en binomiaal formule §48 polynomiaalformule §49 binomiaalformule §50 toepassing op de formule van De Moivre §51 formules voor cosn(φ) en sinn(φ) §52 betrekkingen tussen binomiaalcoëfficiënten
4- Rekenkundige reeksen van hogere orde §53 verschilreeksen §54 rekenkundige reeks van de kde orde §55 omkering van voorgaande stelling §56 som van een rekenkundige reeks van de kde orde §57 kortere bepalingswijze van de som §58 wijzigingen van de kortere sombepaling §59 interpoleren bij een rekenkundige reeks van de kde orde
5- Reken- meetkundige en goniometrische reeksen §60 reken-meetkundige reeks van de kde orde §61 voorbeeld ter toelichting §62 goniometrishe reken-meetkundige reeks §63 voorbeeld ter toelichting
B- Determinanten en Lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 4 Determinanten
1- Inversies §64 inversie van een permutatie §65 kringwisseling
2- Eenvoudigste eigenschappen van een determinant §66 definitie van een determinant §67 opmerkingen over de definitie van een determinant §68 verwisseling van twee rijen of kolommen §69 gevolgen van de voorgaande stelling
3- Coëfficiënten en minoren §70 coëfficiënten der elementen van een determinant §71 onderdeterminanten of minoren §72 gevolgen van de stelling van §70 §73 verdere gevolgen van de stellingen van §70
4- Het berekenen van een determinant §74 geval dat de elementen van een rij of kolom tweetermen zijn §75 vervorming van een determinant door optelling van rijen of kolommen §76 geval waarin een determinant nul is §77 verlaging van de graad van een determinant
5- Determinant van Vandermonde §78 bijzonder geval van genoemde determinant §79 algemene determinant van Vandermonde §80 varianten op de determinant van Vandermonde
6- Minoren van lagere graad §81 minoren van willekeurige graad §82 product van twee complementaire minoren §83 ontwikkeling naar meer rijen en kolommen
7- Product van determinanten en matrices §84 product van twee determinanten §85 bewijs van de vermenigvuldigingsregel §86 reciproke determinant §87 vermenigvuldiging van matrices
8- Verdere beschouwingen over determinanten §88 ontwikkelen van een determinant naar een rij en een kolom §89 symmetrische determinanten §90 verhogen van de graad van een determinant door te randen §91 scheef symmetrische determinanten
Hoofdstuk 5 Toepassing van determinanten op lineaire vergelijkingen
1- Niet-homogene vergelijkingen §92 geval van n vergelijkingen met n onbekenden regel van Cramer §93 geval van p vergelijkingen met q onbekenden stelling van Rouché §94 gevolg van de stelling van Rouché
2- Homogene vergelijkingen §95 homogene lineaire vergelijkingen §96 geval van p homogene vergelijkingen met p + 1 onbekenden §97 het opzoeken van een hoofddeterminant
3- Elimineren uit homogene vergelijkingen §98 het begrip elimineren §99 elimineren uit n homogene lineaire vergelijkingen met n onbekenden §100 andere formulering van het resultaat van §99 §101 elimineren uit p homogene vergelijkingen met q onbekenden
4- Elimineren uit niet-homogene vergelijkingen §102 elimineren uit n + 1 niet-homogene lineaire vergelijkingen met n onbekenden §103 elimineren uit p niet-homogene lineaire vergelijkingen met q onbekenden §104 homogeen maken van vergelijkingen
C- Hogere machtsvergelijkingen
Hoofdstuk 6 Limieten en continuïteit
1- Het limietbegrip §105 limiet van een functie §106 ondubbelzinnigheid van de limiet §107 oneigenlijke limiet §108 terugbrengen van een oneigenlijke limiet tot een limiet nul §109 limiet van f(z) voor z → ∞
2- Regels betreffende limieten §110 limiet van een som §111 limiet van een product §112 toepassing der stellingen van §110 en §111 §113 limiet van een quotiënt
3- Uitbreiding der regels betreffende limieten §114 uitbreiding tot oneigenlijke limieten §115 limiet van een term of factor der gehele uitdrukking
4- Reële limieten §116 terugbrengen van een limiet tot twee reële limieten §117 limiet van de modulus §118 de limieten + ∞ en - ∞
5- Continuïteit §119 definitie van continuïteit §120 ophefbare discontinuïteit §121 som, product en quotient van continue functies §122 continuïteit van een veelterm in z §continue functie van een continue functie continuïteit van Rf(z), If(z) en │f§z)│
6- Stellingen over reële continue functies §125 gevolg van de continuïteitsdefinitie §126 stelling over het nul worden van een continue functie §127 maximum en minimum van een functie van twee veranderlijken
Hoofdstuk 7 Theorema van dAlembert en andere stellingen
1- Theorema van dAlembert §129 bewijs van het theorema van dAlembert §130 ontbinding van een veelterm in lineaire factoren §131 meervoudige wortels §132 betrekkingen tussen coëfficiënten en wortels
2- Geval van reële coëfficiënten §133 toegevoegd imaginaire wortels §134 stelling over reële wortels §135 verdere stellingen over reële wortels §136 verband met de grafiek van f(x)
3- Vervorming van de wortels ener vergelijking §137 verminderen van de wortels met p §138 het verdrijven van termen ener nde machtsvergelijking §139 vermenigvuldigen van de wortels met p §140 vergelijking op reciproke wortels §141 andere vervormingen van de wortels ener vergelijking
4- Wederkerige vergelijkingen §142 verschillende soorten wederkerige vergelijkingen §143 andere opvatting van een wederkerige vergelijking §144 halvering van de graad ener wederkerige vergelijking
5- Continuïteit der wortels van een n-de machtsvergelijking §145 stelling over de continuïteit der wortels §146 bewijs van de continuïteit der wortels §147 oneindig grote wortels van een nde machtsvergelijking
6- Grenzen voor de wortels §148 grens voor de modulen der complexe wortels §150 grenzen voor de positieve wortels §151 andere grenzen voor de positieve wortels
7- Methoden om de grens te verkleinen §152 verkleining van de grens door verandering der exponenten §153 verkleining van de grens door splitsing van f(x)
Hoofdstuk 8 Eerste en hogere afgeleide vergelijkingen
1- Eerste en hogere afgeleiden §154 afgeleide functie §155 differentiaal quotiënt van een som §156 differentiaal quotiënt van een product §157 afgeleide van een gedurig product §158 afgeleide van een macht §159 afgeleide van een veelterm §160 hogere afgeleiden
2- Meervoudige wortel van een hogere machtsvergelijking §161 meetkundige betekenis van de eerste afgeleide §162 voorwaarde voor een meervoudige wortel §163 stelling omtrent een k-voudige wortel §164 voorwaarde voor een k-voudige wortel §165 reeks van Taylor §166 meetkundige betekenis van het teken der tweede afgeleide
3- Correspondentie tussen z-vlak en w-vlak §167 correspondentie tussen de beeldpunten van z en f(z) §168 conformiteit der afbeelding
4- Afzondering van de meervoudige wortels §169 grootste gemene deler van twee veeltermen §170 afzondering der wortels met gegeven multipliciteit §171 wijziging der methode van §170
5- Discriminant van een kubische vergelijking §172 kubische vergelijking zonder tweede term §173 volledige kubische vergelijking
Hoofdstuk 9 Vergelijking met meetbare coëfficiënten
1- Stellingen over meetbare wortels §174 hoofdstelling over meetbare wortels §175 aantal te proberen meetbare getallen §176 verkleining van het aantal der te proberen getallen §177 herleiding van de eerste coëfficiënt tot 1
2- Bepaling van de meetbare wortels §178 product van primitieve veeltermen §179 deelbaarheid door een primitieve veelterm §180 toepassing op het bepalen van de meetbare wortels
3- Verband met meervoudige wortels §181 stelling omtrent de enige j-voudige wortel §182 veelterm die een zuivere kde macht is §183 bepaling van meervoudige wortels door te zoeken naar meetbare wortels
D- Bepaling der reële wortels
Hoofdstuk 10 Theorema van Rolle
1- Scheiding der wortels met het theorema van Rolle §184 maxima en minima van een veelterm §185 theorema van Rolle uit de algebra §186 opmerking over het theorema van Rolle §187 wijziging van het theorema van Rolle §188 gevolg van het theorema van Rolle
2- Toepassing van de kubische vergelijking §189 kubische vergelijking met reële coëfficiënten §190 samenvatting van de resultaten
3- Strengere fundering van het voorgaande §191 theorema van Rolle uit de differentiaalrekening §192 gevolg van de voorgaande stelling §193 middelwaardestelling §194 verband met stijgen en dalen
Hoofdstuk 11 Theorema van Burdan Fourier
1- Eenvoudigste vorm van het theorema §195 tekenstelling §196 formulering van het theorema van Budan §197 bewijs van het theorema van Budan
2- Aanvulling van het theorema van Budan §198 geval dat nullen ontstaan §199 gereduceerd aantal nullen §200 regel van Descartes §201 het aantal imaginaire wortels
3- Verder aanvullingen §202 onvolledig maken van een vergelijking §203 overgang op de vergelijking op de reciproke wortels
Hoofdstuk 12 Theorema van Sturm
1- Algemeen theorema van Sturm §204 formulering van het algemene theorema §205 bewijs van het algemene theorema van Sturm §206 opmerkingen over het algemeen theorema §207 opmerkingen over de laatste functie §208 opmerking over de eigenschap 4° van §204
2- Bijzonder theorema van Sturm §209 vergelijking zonder meervoudige reële wortels §210 aan te brengen vereenvoudigingen §211 vereenvoudiging van een rest §212 verband met het aantal reële wortels §213 afwijking van de deelalgorithmus §214 geval van meervoudige reële wortels
Hoofdstuk 13 Het benaderen van reële wortels
1- Benaderingsmethode van Horner §215 korte uiteenzetting van de methode §216 schatting van het volgende cijfer §217 voorbeeld ter toelichting §218 verkorte benaderingsmethode van Horner
2- Benaderingsmethode van Newton §219 benaderingsformule van Newton §220 nadere beschouwing der methode van Newton
E- Bijzondere vergelijkingen
Hoofdstuk 14 Oplossing der 3de en 4de machtsvergelijking met wortelvormen
1- Kubische vergelijking met complexe coëfficiënten §221 kubische binomiaalvergelijking §222 methode van Cardanus §223 geval van gelijke wortels
2- Kubische vergelijking met reële coëfficiënten §224 oplossing met wortelvormen §225 het onherleidbare geval §226 geheel goniometrische behandeling van het onherleidbare geval
3- Vergelijking van de 4de graad §227 oplossing volgens Descartes §228 de wortels der resolvente van Descartes §229 bepaling der resolvente van Descartes §230 kubische resolvente van de volledige vergelijking van de vierde graad
4- Andere oplossingsmethoden van de vergelijking van de 4de graad §231 oplossing volgens Euler §232 oplossing met een bundel kegelsneden
5- Het oplossen van 2 kwadratische vergelijkingen §233 splitsing van een kwadratische vorm in vierkanten §234 het afsplitsen van een product §235 voorwaarde voor ontbindbaarheid van een kwadratische vorm §236 twee kwadratische vergelijkingen met twee onbekenden §237 meetkundige interpretatie der methode §238 toepassing op goniometrische vergelijkingen
Hoofdstuk 15 Binomiaalvergelijkingen
1- Eenheidswortels §239 terugbrenging van de binomiaalvergelijking tot de vergelijking der eenheidswortels §240 periode van een eenheidswortel §241 stelling over gemeenschappelijke eenheidswortels §242 nog een stelling over eenheidswortels
2- Primitieve wortels §243 aantal eenheidswortels met de periode s §244 aantal primitieve wortels van nm
3- De indicator van een natuurlijk getal §245 bepaling van de indicator §246 rechtstreekse bepaling van de indicator §247 andere rechtstreekse bepaling van de indicator
4- Machten van eenheidswortels §248 verband tussen de nde eenheidswortels §249 periode van een macht van een primitieve wortel
5- Vergelijking der primitieve wortels §250 eerste methode voor het opstellen van de vergelijking §251 tweede methode voor het opstellen van de vergelijking §252 wijziging van de tweede methode
6- Constructie der regelmatige veelhoeken §253 formule voor de zijde §254 constructie van de regelmatige mm-hoek
F- Symmetrische veeltermen en elimineren
Hoofdstuk 16 Symmetrische veeltermen
1- Veeltermen in het bijzonder symmetrische §255 veelterm in n veranderlijken §256 symmetrische veelterm §257 enkelvoudige symmetrische veelterm
2- Hoofdstelling over symmetrische veeltermen §258 symmetrische veelterm in de wortels ener nde machtsvergelijking §259 aanvulling van voorgaande stelling
3- Gewicht en orde van een symmetrische veelterm §260 gewicht van een symmetrische veelterm §261 orde van een symmetrische veelterm §262 toepassing van de stellingen van §260 en §261
4- Formules van Newton §263 formules ter berekening van Sj §264 andere berekenwijze van Sj §265 terugbrenging van symmetrische veeltermen tot S1, S2, enz.
Hoofdstuk 17 Discriminant van een nde machtsvergelijking
1- Stellingen over de discriminant §266 gewicht en orde van de discriminant §267 overgang op de reciproke wortels §268 het teken van de discriminant §269 berekening van de discriminant §270 determinantvorm van de discriminant
2- Invariantie van de discriminant §271 bilineaire substitutie §272 de discriminant als invariant
3- Toepassing op vlakke algebraïsche krommen §273 snijpunten van een rechte met een vlakke algebraïsche kromme §274 snijpunten met een rechte evenwijdig aan de y-as §275 invloed der dubbelpunten en keerpunten
Hoofdstuk 18 Eliminatie uit 2 hogere machtsvergelijkingen
1- Eliminatie met symmetrische functies §276 elimineren uit twee vergelijkingen met één onbekende §277 elimineren door middel van symmetrische functies §278 graad en gewicht van de resultante
2- Opmerkingen over elimineren §279 overgang op de reciproke wortels §280 vreemde factoren
3- Eliminatie volgens Sylvester en Euler §281 eliminatiemethode van Sylvester §282 eliminatiemethode van Euler §283 aanvulling van de methode van Euler
4- Eliminatie volgens Bézout §284 het geval n = m §285 het geval n > m §286 het algemene geval
5- Vereenvoudigde bepaling van een resultante §287 toepassing van gelijkwaardige stelsels §288 de resultante van gelijkwaardige stelsels §289 andere opmerkingen en vereenvoudigingen §290 voorbeeld ter toelichting
6- Toepassingen van elimineren §291 vergelijking waarvan de wortels met die van een gegeven vergelijking samenhangen §292 voorwaarde dat de beeldpunten der wortels een figuur van gegeven gedaante vormen §293 voorbeeld ter toelichting
7- Toepassingen op vlakke algebraïsche krommen §294 twee hogere machtsvergelijkingen met twee onbekenden §295 snijpunten van twee vlakke algebraïsche krommen §296 in het oneindige gelegen snijpunten
Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors"
§9.3 Kennismaking met Schuh's Hogere Algebra
In de Herfst van 1959 kwam ik, zoals aangegeven in een voorgaand cursiefje (§9.1) voor het eerst in aanraking met wat men de Fundamentele of Hogere Wiskunde noemt, discipline die wel te onderscheiden is van de Algemene Wiskunde (voor de definitie zie blog III §3.1). Voor deze eerste kennismaking was het driedelig werk van Fred Schuh Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening verantwoordelijk. Het werk was door Thieme uitgegeven en omvatte een deel I Voorbereiding-1941-, een deel II Differentiaalrekening -1941-, en een deel III Integraalrekening 1942-. Een vierde aangekondigd volume, getiteld Differentiaalvergelijkingen zal uiteindelijk nooit verschijnen.
Ik ontdekte dit werk toevallig in mijn geliefde boekhandel in de Walpoortstraat te Gent. De naam Schuh was mij tenslotte niet onbekend want in mijn jeugd had ik al kennis gemaakt met deze auteur (zie blog I §8.3 Spelen met getallen). De drie volumes waren gedrukt op oorlogspapier en wegens de toen heersende papierschaarste waren de teksten zeer dicht opeen gerangschikt, wat natuurlijk de leesbaarheid niet ten goede kwam.
DeeI I, waarover ik het in dit cursiefje verder zal hebben, omsloot de gedeelten van de Arithmetiek, van de Algebra en van de Analyse nodig voor het funderen van de Differentiaal- en Integraalrekening. De behandelde stof is in wezen een beknopte samenvatting van de Arithmetiek, de Algebra en het gedeelte van de Analyse, dat over functies handelt. In wezen was dit deel I als een soort « Compendium der Arithmetiek en der Algebra » te beschouwen.
De stof werd zo eenvoudig mogelijk behandeld voor zover dit overeen kwam met de eisen van strengheid, die tegenwoordig in de wiskunde worden gesteld.
Om aan deze eisen niet tekort te doen werd voor de bewijsvoering nergens op de meetkunde beroep gedaan en dit is dan ook de reden waarom de goniometrische functies als reeksen werden ingevoerd en gedefinieerd en waarom het inverteren van functies geheel werd los gemaakt van de meetkundige voorstelling (grafiek) van de functie, die daarop slechts belemmerend zou hebben gewerkt.
De stelregel die bij het opstellen van dit werk gevolgd werd luidde:
geen term of formule, hoe elementair ook, gebruiken die niet in het boek zelf is verklaard of afgeleid..
Alleen op deze wijze kon bereikt worden dat men bij de studie van de Infinitesimaamrekening overal vaste grond onder de voeten heeft en deze grond was het natuurlijke getal, welke de auteur als vertrekpunt gebruikte. Op deze wijze werd aan de eigenlijke Analyse of Calculus (de delen II en III van het Leerboek) een monumentale onderbouw gegeven.
Het gedeelte dat betrekking had op de Hogere Algebra omvatte volgende onderwerpen:
F- Veeltermen en Hogere Machtsvergelijkingen
Hoofdstuk 13 Toepassingen op veeltermen en vergelijkingen:
1- Voorbereidende beschouwingen §157 veelterm in z §158 deelbaarheid van veeltermen §159 reststelling rekenwijze van Horner
2- Ontbinding van een veelterm in factoren §160 klasse van veeltermen §161 grootste gemene deler van twee veeltermen §162 hoofdstelling der deelbaarheid van veeltermen §163 priemveeltermen §164 ontbinding van een veelterm in priemfactoren
3- Iets over de wortels van een vergelijking §165 aantal wortels van een hogere-machtsvergelijking §166 gevolg van het aantal wortels §167 toegevoegd imaginaire wortels
4- Vierkantsvergelijking in z of in z² §168 zuivere vierkantsvergelijking in z §169 vierkantsvergelijking in z §170 vierkantsvergelijking in z² of bi kwadratische vergelijking §171 geval dat de coëfficiënten reëel zijn §172 verband met de ontbinding van z4 + az² + b in vier lineaire factoren
Hoofdstuk 14 Verdere eigenschappen van hogere machtsvergelijkingen:
1- Meetbare wortels §173 meetbare wortels van een hogere machtsvergelijking met meetbare coëfficiënten §174 aantal der te proberen meetbare getallen §175 verkleining van het aantal der te proberen getallen §176 voortgezette verkleining der getallen waarop a en b deelbaar zijn §177 verdere beperking der te proberen meetbare getallen §178 het wegdelen van een lineaire factor
2- Bijzondere vergelijkingen §179 vergelijking van de vierde graad §180 verschillende soorten wederkerige vergelijkingen §181 halvering van de graad ener wederkerige vergelijking
G- Limieten
Hoofdstuk 15 Limieten van functies:
1- Het begrip verdichtingspunt §182 verdichtingspunt en geïsoleerd punt §183 stellingen over het begrip verdichtingspunt §184 verdichtingspunt van verdichtingspunten §185 het afsluiten van een getallenverzameling
2- Het functiebegrip §186 functie van één complexe veranderlijke §187 uitbreidingen van het functiebegrip
3- Het limietbegrip §188 limiet van een functie §189 limiet van een functie van meer veranderlijken §190 ondubbelzinnigheid der limiet §191 enkele opmerkingen over het limietbegrip
4- Uitbreiding van het limietbegrip §192 oneigenlijke limiet §193 uitbreiding der stelling §194 terugbrengen van een oneigenlijke limiet tot een limiet 0 §195 invloed van het gebied der onafhankelijk veranderlijke op de limiet §196 limiet van f(z) voor z → ∞
5- Regels betreffende limieten §197 limiet van een som §198 limiet van een product §199 toepassingen der stellingen §200 limiet van een quotiënt
6- Uitbreiding der regels betreffende limieten §201 uitbreiding tot oneigenlijke limieten §202 limiet van een term of factor der gehele uitdrukking
Hoofdstuk 16 Verband met reële limieten:
1- Verschillende stellingen §203 het terugbrengen van een limiet tot twee reële limieten §204 limiet van de modulus §205 de limieten + ∞ en - ∞ §206 gevolg van de limietdefinitie bij reële getallen §207 insluiten van een reële functie tussen twee grenzen
2- Algemene limietstelling §208 algemene limietstelling van Cauchy §209 bewijs van de algemene limietstelling voor reële getallen §210 bewijs van de algemene limietstelling voor complexe getallen §211 uitbreiding der algemene limietstelling tot meer veranderlijken §212 geval waarin een reële functie een limiet heeft
3- Onderste en bovenste limiet §213 onderste en bovenste limiet van een reële functie §214 verband tussen onderste en bovenste limiet §215 verband tussen limiet en onderste en bovenste limiet §216 ongelijkheid betreffende onderste of bovenste limieten
H- Continuïteit
Hoofdstuk 17 Continuïteit in verband met limieten:
1- Continuïteit bij één veranderlijke §217 definitie van continuïteit §218 ophefbare continuïteit §219 uitbreiding van de limietdefinitie en van de continuïteitsdefinitie §220 de functie in het gebied dat door afsluiten ontstaat
2- Continuïteit bij meer veranderlijken §221 continuïteit van een functie van meer veranderlijken §222 het constant houden van één of meer veranderlijken
3- Bepaalde gevallen van continuïteit §223 som, product en quotiënt van continue functies §224 continuïteit van een veelterm in z §225 rationale functie van z §226 verschillende soorten rationale functies §227 limiet van een rationale functie voor z → ∞
4- Functie van een functie §228 limiet van een functie van functie §229 berekening van een limiet door substitutie §230 opmerking over een substitutie in een limietuitdrukking §231 voorbeeld ter toelichting §232 limiet van een continue functie §233 continue functie van een continue functie
5- Enkele opmerkingen §234 continuïteit van Rz, Iz en │z│ §235 een functie van z als functie van twee reële veranderlijken
Hoofdstuk 18 Dubbele limietovergangen:
1- Limiet van een limiet §236 dubbele limiet en herhaalde limiet §237 opmerkingen betreffende voorgaand stelling §238 verwisseling van twee limietovergangen
2- Gelijkmatige convergentie §239 gelijkmatige limietovergang §240 stellingen over gelijkmatige convergentie §241 voorwaarde voor gelijkmatige convergentie
3- Toepassing der gelijkmatige convergentie §242 verband tussen gelijkmatige convergentie en continuiteit §243 geval waarin het gebied der gelijkmatige convergentie niet afgesloten is §244 verband tussen gelijkmatige convergentie en verwisseling van limietovergangen §245 verband tussen gelijkmatige convergentie en dubbele limiet
4- Half- gelijkmatige convergentie §246 definitie van half-gelijkmatige convergentie §247 verband tussen gelijkmatige convergentie en continuïteit
I- Stellingen over Functies
Hoofdstuk 19 Reële functie van een reële veranderlijke:
1- Continuïteit van reële functies §248 het begrip interval §249 linker en rechter verdichtingspunt §250 linker en rechter limiet §251 continuïteit naar links of naar rechts §252 gevolg van de continuïteitsdefinitie
2- Het nul worden van een continue functie §253 stelling omtrent het nul worden van een continue functie §254 gevolg van voorgaande stelling §255 toepassing van de stelling op hogere machtsvergelijkingen §256 omzetting van voorgaande stelling tot oneindige waarden van p of q
3- Monotone functie §257 monotoon stijgende of dalende functie §258 limiet van een monotone functie §259 verdere stellingen over de limiet van een monotone functie §260 afsluiten van het gebied van een monotone functie
4- Inverse van een functie §261 inverteren van een functie §262 inverteren van een monotone functie §263 monotoniciteit der inverse van een monotone functie §264 continuïteit der inverse van een monotone functie §265 inverteren van een functie die in een interval continu is §266 geval dat de functie monotoon is
Hoofdstuk 20 Grenzen van een reële functie:
1- Maximum of minimum §267 stelling over de bovenste grens van een reële functie §268 uitbreiding van voorgaande stelling tot een willekeurig reëel gebied §269 stelling over de onderste grens van een reële functie §270 maximum of minimum van een reële functie §271 maximum of minimum van een continue reële functie
2- Uitbreiding tot meer veranderlijken §272 uitbreiding der stelling §267 tot een functie van twee veranderlijken §273 uitbreiding der stelling §267 tot een reële functie van een complexe veranderlijke §274 uitbreiding van stelling §267 tot een functie van willekeurig veel veranderlijken §275 maximum of minimum van een continue functie van meer veranderlijken
Hoofdstuk 21 Gelijkmatige continuïteit van een functie:
1- Gelijkmatige continuïteit §276 definitie van gelijkmatige continuïteit §277 verband tussen gelijkmatige continuïteit en continuïteit §278 voorbeelden van continue functies die niet gelijkmatig continu zijn §279 geval waarin de gelijkmatige continuïteit uit de continuïteit volgt
2- Uitbreiding tot meer veranderlijken §280 gelijkmatige continuïteit bij meer veranderlijken §281 stelling over gelijkmatige continuïteit bij meer veranderlijken §282 gevolg van voorgaande stelling
3- Stelling van Bolzano §283 stelling van Bolzano voor een reële veranderlijke §284 uitbreiding der stelling van Bolzano tot twee reële veranderlijken §285 de stelling van Bolzano voor willekeurig veel veranderlijken
4- Toepassing van de stelling van Bolzano §286 bewijs der stelling §274 met behulp van de stelling van Bolzano §287 toepassing der stelling van Bolzano op gelijkmatige continuïteit bij één veranderlijke §288 toepassing der stelling van Bolzano op gelijkmatige continuïteit bij meer veranderlijken
J- Machten en Logarithmen
Hoofdstuk 22 Meetbare exponenten:
1- Wortels §289 nog eens het bestaan van de nde wortel §290 de inverse functie van y = xn §291 even en oneven functies §292 het even of oneven zijn van xn
2- Positieve meetbare exponenten §293 definitie van een macht met gebroken positieve exponent §294 gewijzigde betekenis van een gebroken positieve exponent §295 het monotoon stijgen van xm voor m positief en gebroken §296 bewijzen van de formules der machtsverheffing met positieve meetbare exponenten
3- Negatieve meetbare exponenten §297 macht met een negatieve meetbare exponent §298 de functie xm voor m meetbaar §299 bewijzen van de formules der machtsverheffing met meetbare exponenten §300 grafiek der machtsfunctie
Hoofdstuk 23 Onmeetbare exponenten en exponentiële functie:
1- Voorbereiding der onmeetbare exponenten §301 monotoniteit der exponentiële functie §302 de limiet van n√a voor n → ∞ §303 de limiet van ax voor x → 0 §304 gelijkmatige continuïteit van ax in een begrensd interval
2- Onmeetbare exponenten §305 macht met een onmeetbare exponent §306 bewijzen van de formules der machtsverheffing met reële exponenten
3- Machtsfunctie met onmeetbare exponent §307 monotoniteit der machtsfunctie met onmeetbare exponent §308 continuïteit der machtsfunctie met onmeetbare exponent
4- Exponentiële functie §309 de limiet van ax voor x → ∞ §310 het verloop der functie ax
Hoofdstuk 24 Logaritmen en eigenschappen daarvan:
1- Logaritmen §311 definitie van een logarithme §312 enige eenvoudige eigenschappen van logarithmen §313 formules betreffende logarithmen §314 overgang op een ander grondtal §315 grafiek der exponentiële en der logarithmische functie
2- Enkele belangrijke limieten §316 limiet betreffende de exponentiële functie §317 limieten betreffende de logarithmische functie §318 de limiet van xx voor x → 0 §319 de functie xy §320 limet van een quotiënt van logarithmen
K- Oneindige Reeksen
Hoofdstuk 25 Varianten en eenvoudige eigenschappen van reeksen:
1- Varianten §321 convergente en divergente varianten §322 verandering van het gebied ener variant §323 spitsing van een variant in deelvarianten §324 stellingen over varianten §325 stelling van Cauchy over twee limieten
2- Algemeenheden over reeksen §326 oneindige reeksen §327 geval waarin de somvariant te bepalen is §328 convergente en divergente reeksen
3- Verdere eigenschappen der reeksen §329 voorwaarde nodig voor de convergentie van een reeks §330 optellen van reeksen §331 het weglaten van begintermen ener reeks §332 restterm van een reeks
4- Absolute en relatieve convergentie §333 absolute en relatieve convergentie van een reeks §334 voorwaarde voor absolute convergentie §335 de variant rn §336 meetkundige reeks
Hoofdstuk 26 Reeksen met positieve termen:
1- Het begrip vergelijkingsreeks §337 opmerking vooraf §338 het vergelijken van twee reeksen §339 nog een stelling over vergelijken van reeksen
2- Kenmerk van Cauchy §340 convergentiekenmerk van Cauchy §341 het kenmerk van Cauchy ten aanzien van divergentie §342 uitbreiding van het convergentiekenmerk van Cauchy
3- Enkele vergelijkingsreeksen §343 stelling van Cauchy over twee reeksen §344 hyper-harmonische reeks §345 reeksen van Bertrand §346 toepassing der reeksen van Bertrand
4- Orde van het nul worden §347 orde van het nul worden van un §348 regels betreffende de orde van het nul worden §349 sterker of zwakker nul worden dan van de kde orde
5- Tweetermige convergentiekenmerken §350 convergentiekenmerk van Kummer §351 convergentiekenmerk van dAlembert §352 verband tussen het kenmerk van Cauchy en dat van dAlembert §353 convergentiekenmerk van Raabe §354 verband tussen het kenmerk van dAlembert en dat van Raabe §355 convergentiekenmerk van Gauss §356 slotopmerking over het onderzoek naar de convergentie van een reeks
Hoofdstuk 27 Verdere stellingen over reeksen:
1- Alternerende reeksen §357 stellingen over de alternerende reeks §358 convergente alternerende reeks §359 restterm van een alternerende reeks
2- Machtreeksen §360 stellingen over machtreeksen §361 convergentiegebied van een machtreeks §362 bewijs van voorgaande stelling met het uitgebreide kenmerk van Cauchy §363 bepaling van de convergentiestraal van een machtreeks §364 gedrag van een machtreeks op de convergentiecirkel §365 stelling betreffende relatieve convergentie op de convergentiecirkel §366 opmerkingen over de voorgaande stelling
3- Gelijkmatig convergente reeksen §367 gelijkmatige convergentie van een reeks §368 gelijkmatige absolute convergentie van een reeks §369 onderzoek naar gelijkmatige convergentie door insluiting §370 vergelijken met reeksen met constante termen §371 gelijkmatig convergente reeks met positieve termen
4- continuïteit en gelijkmatige convergentie §372 continuïteit van een gelijkmatig convergente reeks §373 gelijkmatige convergentie van een reeks in een niet-afgesloten gebied §374 geval waarin men term voor term de limiet mag nemen
5- Continuïteit van machtreeksen §375 gelijkmatige convergentie van een machtreeks §376 continuïteit van een machtreeks §378 convergentiestelling van Abel §379 continuïteit van een machreeks op de convergentiecirkel §380 nog een stelling over continuïteit op de convergentiecirkel
6- Vermenigvuldigen van reeksen §381 vermenigvuldigingsregel §382 vermenigvuldiging van twee absoluut convergente reeksen §383 geval dat de productreeks convergeert
L- Toepassingen der Reeksen
Hoofdstuk 28 Het schrijven van getallen in een talstelsel:
1- Oneindig voortlopende g- delige breuk §384 talstelsel §385 positief getal geschreven in een talstelsel §386 ondubbelzinnigheid der ontwikkeling in een g-delige breuk §387 schrijfwijze van een g-delige breuk §388 groter en kleiner in het g-tallig stelsel
2- repeterende breuk §389 afbrekende g-delige breuk §390 repeterende g-delige breuk §391 congruent naar een modulus §392 meetbaar getal als repeterende breuk §393 opmerking over de ontwikkeling in een repeterend breuk §394 het berekenen der cijfers van een repeterend breuk
Hoofdstuk 29 Hyperbolische en goniometrische functies:
1- De functies ez , ch(z) enz. §395 de functie 1 + z /1! + z² / 2! + §396 het getal e §397 de functie van §395 als z reëel is §398 hyperbolische functies §399 hyperbolische functies van een reële veranderlijke
2- De functies cos(z) , sin(z) enz. §400 goniometrische functies §401 formule van de Moivre §402 nulpunten van cos(z) en sin(z) §403 periode der goniometrische functies §404 de vergelijkingen cos z = cos c, sin z = sin c enz. §405 de goniometrische functies van een reële veranderlijke
3- Toepassingen der goniometrische functies §406 argument van een complex getal §407 argument van een product §408 binomiaalvergelijking zn = c §409 meetkundige voorstelling der wortels van een binomiaal vergelijking §410 theorema van dAlembert §411 gevolgen van het theorema van dAlembert
Hoofdstuk 30 Inverse hyperbolische en inverse goniometrische functies:
1- De functies log(x) , bgch(x) enz. §412 de Neperiaanse logarithme §413 de inversen der hyperbolische functies §414 betrekkingen tussen de inversen der hyperbolische functies
3- Toepassing van de cyclometrische functies §417 de wortels van de vergelijkingen cos x = a enz. §418 toepassing op het argument van een complex getal
4- Enige limieten en ongelijkheden §419 limieten en ongelijkheden betreffende ez en log x §420 het geval 1∞ §421 goniometrische en cyclometrische limieten en ongelijkheden §422 de functies sin(x) / x en tg(x) / x §423 insluiting van het getal pi tussen grenzen
5- Meetkundige betekenis van cosinus en sinus §424 goniometrische functies van hoeken §425 omtrek van de cirkel §426 meetkundige betekenis van het argument van een complex getal §427 enige raaklijnen van grafieken van hyperbolische functies
M- Determinanten en Lineaire Vergelijkingen
Hoofdstuk 31 Determinanten:
1- Voorbereiding der determinanten §428 permutaties en combinaties §429 permutaties van n elementen waaronder gelijke §430 herhalingscombinaties §431 inversies van een permutatie
2- Eenvoudigste eigenschappen van een determinant §432 definitie van een determinant §433 opmerkingen over de definitie van een determinant §434 verwisseling van twee rijen of kolommen
3- Coëfficiënten en minoren §435 coëfficiënten der elementen van een determinant stelling over het ontwikkelen van een determinant §436 onder-determinanten of minoren §437 gevolg van voorgaande stelling §438 verdere gevolgen van voorgaande stelling
4- Het berekenen van een determinant §439 geval dat de elementen van een rij of kolom tweetermenzijn §440 vervorming van een determinant door optelling van rijen of kolommen §441 geval waarin een determinant nul is §442 verlaging van de graad van een determinant
5- Voortzetting der determinantentheorie §443 voorbeeld ter toelichting §444 determinant van Vandermonde §445 vermenigvuldigingsregel van determinanten
Hoofdstuk 32 Toepassingen der determinanten op lineaire vergelijkingen:
1- Niet homogene vergelijkingen §446 regel van Cramer §447 stelling van Rouché §448 gevolg van de stelling van Rouché
2- Homogene vergelijkingen §449 homogene lineaire vergelijkingen §450 geval van p homogene vergelijkingen met p + 1 onbekenden §451 het opzoeken van de hoofddeterminant
3- Elimineren §452 elimineren uit n homogene vergelijkingen met n onbekenden §453 andere formulering van voorgaande stelling §454 elimineren uit p homogene lineaire vergelijkingen met q onbekenden §455 elimineren uit niet-homogene lineaire vergelijkingen
(Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors")
§ 9.2 Elementaire Rekenkunde met Fred Schuh
In betrekking tot de Arithmetiek (zie op dit blog cursiefje « Wat is Arithmetiek? ») heeft de grote Nederlandse wiskundige Frederik Schuh volgende boeken geschreven:
- « Spelen met Getallen » (Fred Schuh Thieme -1951-)
- « Het Natuurlijke getal in een zo streng mogelijke behandeling » (Fred Schuh Noordhoff -1928-)
- « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde » (Fred Schuh Noordhoff) -Deel I (1919) -Deel II (1921)
- « Het getalbegrip in het bijzonder het onmeetbare getal met toepassingen op de algebra en de Differentiaal- en Integraalrekening » (Fred Schuh Noordhoff -1927-)
Daarenboven gaf Schuh in het Voorbereidend Deel (1941) tot de Differentiaal- en Integraalrekening (zie in dit blog cursiefje « Calculus volgens Schuh ») een subliem en globaal overzicht van de Getalkunde gaande van het natuurlijk getal tot en met het complexe getal (1) .
Het was overigens Schuhs driedelige werk Differentiaal- en Integraalrekening, die mij -in 1959- echt op het spoor zette van deze zeer productieve auteur, waarvan de meeste monografieën nu een plaatsje gevonden hebben in mijn bibliotheek. Wanneer ik Schuhs monografieën ter hand neem, ben ik telkens weer verrast door de sierlijke taal en de grote helderheid, waarmede hij soms erg moeilijke onderwerpen uiteenzet. Bij Schuh zal men geen overdreven symboliek of geheimtaal vinden, euvel waaraan sommige moderne boeken, die over wiskunde handelen, lijden.
De monografieën van Schuh zijn in de eerste plaats schoolboeken maar dan van een veel hoger niveau dan die van het normale secundair onderwijs. Men zal in deze monografieën dan ook, zoals gebruikelijk voor schoolboeken, weinig of geen referenties aantreffen, maar wel vraagstukken en oefeningen.
Zoals de auteur het zelf aangeeft wordt van de student onderstelt, dat hij al enige notie heeft van het behandelde onderwerp. Schuhs boeken zijn dan ook aangewezen voor een tweede, meer grondige kennismaking met de leerstof. Karakteristiek voor Schuhs boeken is ook de aanwezigheid van een steeds tot in de minste puntjes verzorgde inhoudstafel, waardoor de lezer onmiddellijk weet waarover het gaat.
I- Elementaire Rekenkunde volgens Schuh(Deel 1 -1919- Deel 2 -1921-)
De eerste drie hierboven geciteerde boeken hebben betrekking op de Elementaire Rekenkunde, een typisch wiskundevak voor het primair en secundair onderwijs. Het eerste boek, een vulgarisatiewerk was mij sinds lang bekend, want begin de jaren vijftig had ik het ontleend uit de bibliotheek van mijn vader (zie blog I cursiefje « Arithmetiek in het Lager Middelbaar (2) »).
Kon ik het tweede boek « Het Natuurlijk getal in een zo streng mogelijke behandeling » nog gemakkelijk vinden dan bleef het fameuze « Leerboek der Elementaire Rekenkunde » lang, zeer lang buiten schot. Toen ik er uiteindelijk via Internet toch in slaagde dit tweedelig leerboek op de kop te tikken heb ik echter begrepen waarom .
Het was maar in 2007 (!!!) dat ik dit tweedelig boek eindelijk in handen kreeg en onmiddellijk merkte ik dat ik te doen had met een werk van uitzonderlijk gehalte. Geen wonder dus dat dit boek zo moeilijk te vinden was: het was een zeer gegeerd werk, dat een hechte theoretische basis verstrekte in wat men de Rekenkunde noemt.
In de uitvoerige Inleiding schreef Schuh:
In dit leerboek, dat in hoofdzaak bestemd is voor studerenden voor de Hoofdakte, wordt de Rekenkunde behandeld geheel van het begin af, zonder dat daarbij enige feitelijke wiskundige kennis van de lezer aangenomen wordt. Dit begin is te zoeken in de ontwikkeling van het begrip « natuurlijk getal » . Met het voorgaande is geenszins bedoeld, dat het begin van de Rekenkunde niet nog dieper uitgespit, d.w.z. het begrip natuurlijk getal nog verder ontleed kan worden, dan in dit leerboek is geschied. Het tegendeel is waar. Een tiental jaren geleden heb ik op een afzonderlijk college aan de Universiteit te Groningen zulk een ontleding besproken. Een zo diep ophalen zou echter in een leerboek voor beginners niet op zijn plaats zijn. Ik ben echter voornemens aan het eind van mijn Leerboek der Theoretische Rekenkunde mijn beschouwingen daarover op te nemen
(Deze beschouwingen werden echter opgenomen in « Het Natuurlijke getal in een zo streng mogelijke behandeling » )
Bij de verdere behandeling der stof is een beroep op bekend onderstelde dingen stelselmatig vermeden, terwijl ook niet stilzwijgend zulk een beroep gedaan is. Dit maakt, dat van al het behandelde de motivering in het boek zelf te vinden is. Dit wil natuurlijk niet zeggen, dat het daarom geschikt zou zijn om de Rekenkunde er uit te leren, als men het gewone rekenen (optellen enz.) nog niet verstaat. Zoals bij vluchtig inzien reeds zal blijken, wordt nl. een zekere rijpheid van oordeel en vertrouwdheid met de eerste beginselen der bewijsvoering ondersteld, iets dat zonder oefening in het rekenen bezwaarlijk te verkrijgen is. Het doel is dan ook geweest de lezer, die de eenvoudigste rekenkundige eigenschappen reeds kent en de gewone routine in het rekenen bezit, te doen zien op welke wetenschappelijke grondslagen deze hem bekende zaken berusten .
Uitvoerig zijn voorts in dit leerboek de negatieve gehele getallen besproken. O.i. ten onrechte wordt vaak beweerd, dat de negatieve getallen in de algebra, maar niet in de rekenkunde thuis behoren. Nog afgezien daarvan, dat een scherpe afscheiding tussen rekenkunde en algebra niet aanwezig is, zou een dergelijke opvatting een zeer hinderlijke beperking voor de rekenkunde betekenen door de omstandigheid, dat de aftrekking dan niet steeds mogelijk is en daardoor een omzetting van (a + b) c tot (a c) + b niet steeds geoorloofd zou zijn Zo is bvb een behandeling van de deelbaarheidskenmerken, inzonderheid van het kenmerk van deelbaarheid met de periode van resten, zonder negatieve getallen bezwaarlijk te geven
De negatieve getallen zijn vrijwel onontbeerlijk voor de theorie der onbepaalde vergelijkingen, een onderwerp dat zeer beslist tot de rekenkunde gerekend moet worden en daarvoor van het grootste belang is. Een behoorlijke behandeling der deelbaarheidskenmerken door optelling en aftrekking in een willekeurig talstelsel is zonder onbepaalde vergelijkingen niet mogelijk. Ook andere rekenkundige kwesties zoals bvb de getallen met hetzelfde eindcijfer als hun vierkant en de stelling van Wilson voeren tot onbepaalde vergelijkingen. Enige kennis van dit onderwerp lijkt mij daarom voor iedere beoefenaar der rekenkunde noodzakelijk
Een ander iets, dat eveneens bezwaarlijk in de Rekenkunde kan gemist worden is het binomium van Newton dus de formule voor (a + b)n waarvoor weer enige kennis van permutaties en combinaties nodig is Het binomium van Newton voert op eenvoudige wijze tot de zo uiterst belangrijke stelling van Fermat, maar vindt ook op andere plaatsen toepassing. Ook de gewoonlijk tot de stelkunde (algebra) gerekende merkwaardige producten zijn voor de rekenkunde zo belangrijk, dat ze in dit leerboek opgenomen zijn
Wat men traditioneel de « rekenkundige getallen » (het getal nul en de positieve gehele getallen) noemt moet, voor een streng wiskundig opgebouwde Rekenkunde, aangevuld worden met de negatieve gehele getallen. Schuh is echter niet blind voor de problemen, die hierbij oprijzen en hij schrijft:
... Het invoeren der negatieve getallen is ontegenzeggelijk een netelig onderwerp, zo men het geheel correct wil doen. Bij een eerste kennismaking is het allicht goed er zich van af te maken door invoering van een naar weerskanten voortlopende rij tekens: ..., -4, -3, -2, -1, 0 1, 2, 3, 4, en dan het optellen te beschouwen als een tellen naar rechts bij vermeerdering met een positief, naar links met een negatief getal (cf. §482 en §483). Op de in §484 aangegeven wijze geraakt men dan tot uitkomsten als 5 x (-3) = (-15) en (-5) x (-3) = 15. Neemt men nu (zoals gewoonlijk geschiedt) maar aan, dat de gewone rekenregels der optelling en vermenigvuldiging (commutatieve, associatieve en distributieve eigenschappen) blijven doorgaan, dan is men, wat de techniek van het werken met negatieve getallen betreft, klaar...
... Geheel iets anders is het echter de geldigheid dier rekenregels, na invoering van de negatieve getallen te bewijzen, iets dat op de eenvoudigste wijze geschiedt door de negatieve getallen als aantallenparen in tevoeren (§401 e.v.), die zich dan later als verschillen ontpoppen (§441), waardoor men vanzelf tot de gebruikelijke schrijfwijze der negatieve getallen geraakt. Het is zeker instructief van deze exacte invoeringswijze der negatieve getallen kennis te nemen. Intussen kan worden opgemerkt, dat deze invoeringswijze niet tot de gebruikelijke examenstof behoort....
Samengevat in het Leerboek van Schuh vindt men enerzijds de zogenaamde theorie der relatieve getallen, die men in de meeste algebraschoolboeken terugvindt. Deze theorie is niet in volle wiskundige gestrengheid is opgebouwd. Anderzijds vindt men in hetzelfde leerboek (Deel I Hoofdstuk 3) ook een streng wiskundige theorie der negatieve getallen, gebaseerd op aantallenparen, zoals door Hermann Hankel (2) uitgewerkt.
Het eerste deel van het Leerboek beslaat 525 paginas en omvat de natuurlijke getallen en de eigenschappen van deelbaarheid, het rekenen in talstelsels en met positieve en negatieve getallen, het binomium van Newton en de stelling van Fermat, indicator en de stelling van Euler, onbepaalde vergelijkingen en kenmerken van deelbaarheid, vierkantsworteltrekking en eindcijfers van vierkanten, priemgetallen en ontbinding in factoren:
Hoofdstuk 1 Natuurlijke getallen: §1- Natuurlijke getallen in verband met het tellen (definitie en volgorde der natuurlijke getallen de begrippen aantal en eindigheid) §2 Optelling van natuurlijke getallen (definitie en eigenschappen der optelling, andere bewijzen der voorgaande eigenschappen, bewijsvoering door volledige inductie) §3- Aftrekking van natuurlijke getallen §4- Vermenigvuldiging van natuurlijke getallen (definitie en eigenschappen der vermenigvuldiging, andere definities van de vermenigvuldiging definitie door volledige inductie-) §5- Machtsverheffing van natuurlijke getallen (definitie en eigenschappen der machtsverheffing, andere definities van machtsverheffing definitie door volledige inductie-) §6- Deling van natuurlijke getallen §7- Verdere eigenschappen betreffende deelbaarheid (grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud, ontbinding in priemfactoren met toepassingen)
Hoofdstuk 2 Het getal nul: §1- De rekenregels met het getal nul (opstelling der rekenregels, oneigenlijke sommen, producten en machten machtsverheffing met grondtal nul, machtsverheffing met exponent nul, machtsverheffing met grondtal nul en exponent nul) §2- Binomium van Newton en de stellingen van Fermat en van Euler (binomium van Newton variaties, permutaties, combinaties -, formule voor de nde macht van een binomium, driehoek van Pascal, indicator en stelling van Euler) §3- Eigenschappen betreffende de delers van een getal (aantal, som en product der delers, toepassing van het getal nul op G.G.D. en K.G.V.) §4- Talstelsels (getallen in talstelsels, volgorde der getallen in talstelsel) §5- Het rekenen in talstelsels (optrekking, aftrekking, vermenigvuldiging en deling, wisseling van talstelsel)
Hoofdstuk 3 Invoering der negatieve gehele getallen: §1- Het stelsel der gehele getallen (afleiding der gehele getallen uit aantalparen, grondeigenschappen voor de gehele getallen) §2- Aftrekking met gehele getallen (mogelijkheid der aftrekking en gevolgen daarvan, positief en negatief, vermenigvuldiging met positieve en negatieve getallen) §3- Andere invoeringswijze der negatieve getallen §4- Gebruik van de negatieve getallen (toepassing op hoeveelheden met twee soorten elementen, verschillende andere toepassingen op de merkwaardige quotiënten, op het binomium van Newton, op een som va, opvolgende elementen ener rekenkundige reeks-)
Hoofdstuk 4 Toepassing der negatieve getallen op deelbaarheidsproblemen: §1- Onbepaalde vergelijkingen §2- Kenmerken van deelbaarheid (voorbereidende beschouwingen, kenmerk van een deler gt 1, kenmerk voor een deler van gt + 1, kenmerk met de periode van resten, kenmerken door optelling en aftrekking, uitgebreide kenmerken door optelling en aftrekking, restbepaling en toepassing op ontbinding in priemfactoren) §2- Deelbaarheid der faculteiten (formule van Legendre en enige gevolgen daarvan ontbinding van n! in priemfactoren, omvorming van de formule van Legendre, deelbaarheid van (a + b)! door a! b!, stelling van Catalan -, verband met de schrijfwijze in talstelsels -derde vorm van de formule van Legendre-)
Hoofdstuk 5 Vierkanten der natuurlijke getallen: §1- Vierkantsworteltrekking (definitie der worteltrekking, uitvoering der worteltrekking) §2- Laatste cijfers der vierkanten (voorbereidende beschouwingen stelling van Mersenne -, laatste drie cijfers der vierkanten stelling van Huygens -, laatste vier cijfers der vierkanten, periode van vierkantseindcijfers in een willekeurig talstelsel, enkele vragen betreffende vierkanten in een willekeurig talstelsel, laatste vier cijfers van vierkanten in het 2p- tallig stelsel) §3- Kwadratentafel en toepassingen daarvan (vervaardigen en toepassing van een kwadratentafel, kwartkwadraten met toepassing op de vermenigvuldiging)
Hoofdstuk 6 Priemgetallen: §1- Oneindigheid van het aantal priemgetallen en enige andere eigenschappen betreffende priemgetallen (oneindigheid van het aantal priemgetallen stelling van Euclides -, andere eigenschappen betreffende priemgetallen priemgetallen die een rekenkundige reeks vormen-) §2- Bepaling der priemgetallen (ontbindingstafels en priemgetallentafels zeef van Eratosthenes -, verdeling der priemgetallen en groepen van priemgetallen) §3- Priemgetallen van bijzondere vorm (priemgetallen van de vorm 2 exp 2m + 1, getallen van Mersenne en volkomen getallen) §4- Stelling van Wilson en verwante eigenschappen (stelling van Wilson en het omgekeerde daarvan, opmerkingen naar aanleiding van de stelling van Wilson) §4- Verschillen van vierkanten en ontbinding in priemfactoren (splitsing van een getal in een verschil van twee vierkanten, eerste ontbindingsmethode, tweede ontbindingsmethode methode van Fermat -, verband met de eindcijfers van vierkanten, verdere vereenvoudiging der methode van Fermat, bepaling van niet- priemdelers)
Het tweede deel van het «Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde» is gewijd aan de gebroken getallen en omsluit 387 paginas. In een eerste hoofdstuk worden vooreerst de rekenregels der meetbare getallen ingevoerd en komt het rekenen met breuken aan de orde. Een specifieke rubriek is gewijd aan de invoering der negatieve getallen na de gebroken getallen. Machtsverheffing en machten met negatieve exponenten, evenredigheden en rekenkundige en meetkundige reeksen worden verder besproken. Een tweede hoofdstuk is gewijd aan de g-delige breuken met de eigenschappen ervan, de repeterende en hun omvorming tot tiendelige breuken, het ontwikkelen in en rekenen met repeterende breuken:
Hoofdstuk 1 Gebroken getallen: §1- De rekenregels met meetbare getallen (invoering der meetbare getallen, rechtstreekse verbindingen der meetbare getallen, volgorde der meetbare getallen) §2- Aftrekking met meetbare getallen §3- Deling met meetbare getallen §4- Breuken (meetbare getallen als breuken, het omvormen van breuken, het rekenen met breuken) §5- Enige eigenschappen van breuken §6- G.G.D. en K.G.V. van breuken §7- Verdere beschouwingen betreffende meetbare getallen (grondeigenschappen der meetbare getallen, het stelsel der meetbare getallen) §8- Invoering der negatieve getallen na de gebroken getallen §9- Toepassing der gebroken getallen op verdeelbare elementen §10- Andere toepassingen der gebroken getallen (rekenkundige reeksen, partiële quotiënten) §11- Machtsverheffing en invoering van negatieve exponenten (machtsverheffing, machten met negatieve exponenten, negatieve exponenten als getallenparen) §12- Evenredigheden (eigenschappen der evenredigheden definitie en hoofdeigenschap, bepaling van een onbekende uit een evenredigheid, aanvulling van de theorie der evenredigheden) §13- Meetkundige reeksen §14- Harmonische gemiddelden en harmonische reeksen
Hoofdstuk 2 Afbrekende en repeterende g-delige breuken: §1- G-delige breuken (algemeenheden over g-delige breuken definitie, omvorming van een g-delige tot een gewone breuk, groter en kleiner bij g-delige breuken -, verdere opmerkingen over g- delige breuken, het rekenen met g-delige breuken) §2- Omvorming van gewone breuken tot repeterende breuken (algemeenheden over repeterende breuken, verdere opmerkingen over repeterende breuken) §3- Omvorming van repeterende breuken tot gewone breuken (omvorming van een repeterende breuk als representant van een meetbaar getal beschouwd, repeterende breuk als limiet of als oneindig voortlopende reeks) §4- Aantal der niet-repeterende en aantal der repeterende cijfers van een repeterende breuk (voorbereidende opmerkingen, breuken waarvan de noemer verschillende priemfactoren bevat, breuken waarvan de noemer een macht van een priemgetal is, breuken met ondeelbare noemer) §5- Stelling van Gauss met toepassing op repeterende breuken (stelling van Gauss voor repeterende g- delige breuken, voor repeterende tiendelige breuken) §6- Vereenvoudiging der toepassing van de stelling van Gauss §7- Aantal repeterende cijfers in verschillende talstelsels §8- Bepaling der noemers bij gegeven grondtal en gegeven aantal repeterende cijfers (geval van een willekeurig grondtal, geval van het grondtal tien) §9- Bepaling der grondtallen bij gegeven noemer en gegeven aantal repeterende cijfers (geval van een ondeelbare noemer, geval van een deelbare primitieve noemer, geval van een of twee repeterende cijfers) §10- Het rekenen met repeterende breuken (optellen en aftrekken, vermenigvuldigen, regel benodigd bij het vermenigvuldigen, delen, wisseling van talstelsel) §11- Eigenschappen betreffende de repeterende cijfers van repeterende breuken (regelmaat in de repeterende cijfers bij een ondeelbare noemer, aanvulling van de bij het vermenigvuldigen benodigde regel, verder opmerkingen over regelmaat in de repeterende cijfers, repeterende cijfers bepaald door optelling en aftrekking, afhankelijkheid der repeterende cijfers van de teller, toepassing op het ontwikkelen in een repeterende breuk)
Een de en ander bvb de repeterende breuken en het binomium van Newton werd in de Cadettenschool onder de hoofding Algebra behandeld.
II- Schuhs « Het Natuurlijke getal in een zo streng mogelijke behandeling » (1928)
Deze overigens zeer goed leesbare monografie over het Natuurlijke Getal werd al aangekondigd in Schuhs « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde ». Het boek geeft een antwoord op een aantal fundamentele vragen en is als de grondbasis voor voornoemdleerboek te beschouwen. In tegenstelling met het leerboek bevat deze monografie ook een aantal welgekozen vraagstukken.
Hoofdstuk 1 Invoering der Natuurlijke Getallen:
A- Voorlopige definitie der natuurlijke getallen (natuurlijke getallen als tekens; definitie van natuurlijke getallen; gevolgtrekking uit de voorlopige definitie)
B- Het identiteitsbegrip (identiteit en onderscheid; definitie van onderscheiden; definitie van identiek; het begrip echt onderscheiden; bewijs van de gelijkheid der begrippen onderscheiden en echt onderscheiden; bewijs dat de begrippen onderscheiden en identiek elkaar uitsluiten; volledige inductie voor getaltekens; opmerkingen over volledige inductie; bewijs dat er geen andere mogelijkheid is dan onderscheiden en identiek; vergelijking met de gangbare betekenis der woorden onderscheiden en identiek; constructie van identieke natuurlijke getallen; transiviteit van het begrip identiek
C- Het begrip « natuurlijk getal » (omvorming van het begrip natuurlijk getal; gelijkheid en ongelijkheid van natuurlijke getallen; eigenschappen betreffende gelijkheid en ongelijkheid; het natuurlijke getal a + 1; volledige inductie voor natuurlijke getallen)
Hoofdstuk 2 Groter en kleiner bij natuurlijke getallen:
A- Eigenschappen betreffende groter en kleiner (definitie der begrippen groter en kleiner; het kleinste natuurlijk getal; transitieve eigenschap van het predicaat groter; enige voorbereidende eigenschappen; het elkaar uitsluiten van de predicaten groter, gelijk en kleiner; eerste grondeigenschap der volgorde; het ontbreken van een natuurlijk getal tussen a en a + 1 en van een grootste natuurlijk getal
B- Verschillende uitbreidingen der volledige inductie (uitbreiding van de bewijsmethode der volledige inductie; benedenwaarts beperkte volledige inductie; tweezijdig beperkte volledige inductie)
C- Volgorde der natuurlijke getallen (de begrippen onmiddellijk volgen en onmiddellijk voorafgaand; natuurlijke volgorde; de natuurlijke getallen tot en met a)
Hoofdstuk 3 Toepassingen der natuurlijke getallen op het tellen:
A- Hoeveelheden in het algemeen (hoeveelheden; afbeelden van hoeveelheden op elkaar)
B- Nummeren van hoeveelheden (nummerende hoeveelheden; hoofdeigenschap van het nummeren; eindige en oneindige hoeveelheden; vergelijking van een hoeveelheid met een nummerende hoeveelheid; minder en meer dan a elementen)
C- Tellen van een hoeveelheid (het tellen van een hoeveelheid; het resultaat van een telling; hoofdeigenschap van het tellen)
D- Getallenhoeveelheden (eindige getallenhoeveelheden; kleinste getal van een getallenhoeveelheid; nummering van een eindige getallenhoeveelheid; nummering van een oneindige getallenhoeveelheid; splitsing van een hoeveelheid in delen)
E-Intervallen (eindige en oneindige intervallen; splitsing van een interval in deelintervallen; grootste getallen der deelintervallen)
Hoofdstuk 4 Verbindingen van twee natuurlijke getallen:
A- Algemene opmerkingen over verbindingen (verbindingen; uitbreiding der schrijfwijze; functie van één veranderlijke; functie van twee veranderlijken)
B- Definitie van een functie door volledige inductie (definitie door volledige inductie; constructie der functie f(x)
Hoofdstuk 5 Optelling van natuurlijke getallen:
A- Optelling van twee natuurlijke getallen (definitie der optelling; constructie van het primitieve getalteken voor een som; betekenis der haakjes; gevolgtrekking uit de definitie)
B- Optelling van meerdere natuurlijke getallen (definitie van herhaalde optelling; wijziging van de schrijfwijze; constructie van een gedurige som; een primitief getalteken als een gedurige som)
C- Grondeigenschappen der optelling (formulering der grondeigenschappen; bewijs der associatieve eigenschap; bewijs der commutatieve eigenschap; bewijs van de grondeigenschap der optelling in verband met de volgorde)
D- Afgeleide eigenschappen der optelling (afgeleide eigenschappen; voorbeelden van afgeleide eigenschappen; uitbreiding der schrijfwijze; constructie van de in vorige paragrafen brschouwde som; uitbreiding van de associatieve eigenschap der optelling; verdere uitbreiding der associatieve eigenschap; uitbreiding der commutatieve eigenschap; algemene associatieve en commutatieve eigenschap der optelling; uitbreiding van de grondeigenschappen der volgorde
E- Optellen in verband met hoeveelheden (aantal elementen van een som van twee hoeveelheden; aantal elementen van een som van n hoeveelheden)
Hoofdstuk 6 Vermenigvuldiging van natuurlijke getallen:
A- Vermenigvuldiging van twee of meer natuurlijke getallen (definitie der vermenigvuldiging; een product als gedurige som; gedurige producten)
B- Grondeigenschappen der vermenigvuldiging (formulering der grondeigenschappen; bewijs der distributieve eigenschap; bewijs van de associatieve eigenschap der vermenigvuldiging; bewijs van de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging; bewijs van de grondeigenschap der vermenigvuldiging in verband met de volgorde)
C- Afgeleide eigenschappen der vermenigvuldiging (algemene distributieve eigenschap der vermenigvuldiging; algemene associatieve en commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging)
D- Vermenigvuldigen in verband met hoeveelheden (vermenigvuldigen van hoeveelheden; product van n hoeveelheden)
Hoofdstuk 7 Machtsverheffing:
A- Definitie der machtsverheffing
B- Eigenschappen der machtsverheffing
Hoofdstuk 8 Aftrekking van natuurlijke getallen:
A- Definitie der aftrekking
B- Ondubbelzinnigheid der aftrekking
C- Geval waarin de aftrekking mogelijk is
Hoofdstuk 9 Deling van natuurlijke getallen:
A- Eigenschappen der deling (definitie der deling; ondubbelzinnigheid der deling; delers en veelvouden; partieel quotiënt en de rest van de deling)
B- Deelbaarheidseigenschappen (onderlinge ondeelbaarheid; hoofdstelling der deelbaarheid)
C- Ontbinding in priemfactoren (priemgetallen; ontbinding van een natuurlijk getal in priemfactoren; fundamentaalstelling der rekenkunde)
Hoofdstuk 10 Het Getal Nul:
A- Definities betreffende het getal nul
B- Behoud der grondeigenschappen
C- Samenvatting en wijziging der grondeigenschappen
D- Som van nul termen en product van nul factoren
E- Machtsverheffing met exponent nul of met grondtal nul
F- Natuurlijke getallen geschreven in het g-tallig stelsel
- Nabeschouwingen:
In de Cadettenschool van Laken was het Rekenkundeboek " De Gehele en Gebroken Getallen" van de collectie Devaere- Herbiet, dat als basis dienst deed voor de Latijn-Wiskundige en Wetenschappelijke secties, voor wat de Rekenkunde betreft, onvolledig en in feite ontoereikend.
Bepaalde aanvullingen zoals "Onbepaalde vergelijkingen", "Binomium van Newton", "Combinaties en Permutaties" diende men te vinden in het "Complement van Algebra" van de collectie Devaere- Herbiet. Nog andere zoals de "Relatieve getallen" en "Merkwaardige Producten".. kwamen voor in het Leerboek der Algebra van dezelfde collectie. En dit alles zonder één woord van toelichting!
Een zeer verwarrende situatie als jij het mij vraagt.. en dit alles om pure didactische redenen. In de Rekenkunde mochten alleen "rekenkundige getallen" gebruikt worden en daar hoorden de negatieve gehele getallen in se niet bij. Negatieve gehele getallen horen thuis onder de "algebraïsche getallen".. en dus onder de Algebra.
Voor wie geconfronteerd wordt met een grondig examen Theoretische Rekenkunde zoals bvb onderwijzers en regenten, lijkt mij het Leerboek van Schuh ten stelligste aangewezen. Helaas is het boek zeer moeilijk te verkrijgen...
------------------------------ (1) Het eerste gedeelte van dit Voorbereidend deel tot de Differentiaal- en Integraalrekening gaf een samenvatting van de Getalkunde; hierop volgde dan een uitstekende samenvatting van de Klassieke Algebra (zie cursiefje §9.3)
(Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors")
§ 9.1 Kennismaking met Schuh's Getallenleer:
I- Een Inleidende Bemerking: Getallen in een notendop
In het primair en secundair onderwijs worden de scholieren via de zogenaamde algebra (zie cursiefje « Wat is Algebra? » met allerlei soorten getallen geconfronteerd.
Vooreerst zijn er de natuurlijke getallen en het getal nul, de zogenaamde gehele getallen, die dra gevolgd worden door de gebroken getallen of breuken. Deze gehele en gebroken getallen vormen dan samen het stelsel der rekenkundige getallen, waarvan later zal gezegd worden dat ze het stelsel der meetbare getallen vormen.
Vervolgens komen er, vanaf de eerste algebralessen, de zogenaamde relatieve getallen aan de beurt, waarbij de negatieve gehele en gebroken getallen geïntroduceerd worden. In de laatste lessen van het secundair onderwijs worden dan plots, vrijwel uit het niets, de onmeetbare of irrationale getallen en de complexe getallen te voorschijn getoverd. Een complex getal blijkt dan de som te zijn van een reëel getal en een imaginair getal, waaruit volgt dat complexe getallen ook de reële getallen omvatten.
Voorts wordt dan verteld dat de onmeetbare getallen aan de relatieve getallen moeten toegevoegd worden en dat dit nieuwe systeem voortaan het stelsel der reële getallen vormt.
Reële en de complexe getallen vormen de oplossingen of wortels van om het even welke algebraïsche vergelijkingen en worden dan ook de algebraïsche getallen.
En daarmede is de kous niet af, want er bestaan ook nog transcendente getallen zoals het getal π en het getal e.
De gebruikelijke schoolboeken Arithmetiek en Algebra zijn gericht op het eigenlijke rekenen en beogen alleen maar een zekere rekenvaardigheid bij de leerling aan te kweken; het accent wordt hier gelegd op het aanleren en toepassen van de rekenregels zonder meer. In deze boeken zal men geenszins enige verklaring vinden, van hoe men tot deze nieuwe soorten getallen is geraakt en nog minder hoe men tot die speciale rekenregels voor al deze nieuwe getallen is gekomen.
Het is nu de Klassieke Algebra, wiskundegebied door Isaac Newton als Universele Arithmetiek bestempeld, die aanleiding heeft gegeven tot deze achtereenvolgende uitbreidingen of verruimingen van het getalbegrip. De theorie der vergelijkingen van één onbekende leidt inderdaad uitgaande van het natuurlijk of geheel getal achtereenvolgens tot het gebroken getal, tot het negatief getal, tot het onmeetbaar getal en tot het imaginaire getal.
In de Cadettenschool was het nu de Muis die door zijn glasheldere uiteenzettingen over algebra mij op het juiste spoor van het hoe en waarom zette.
1- Een vergelijking als a.x = b waarin a en b natuurlijke of gehele getallen zijn suggereert een uitbreiding van het getalbegrip tot het gebroken getal of breuk.
De oplossing of wortel van deze vergelijking wordt gegeven door x = b /a en is een natuurlijk getal op voorwaarde dat b deelbaar is door a. Wordt nu als oplossing een natuurlijk getal geëist dan zou men kunnen spreken van een diophantische vergelijking (1) . Uiteraard heeft deze diophantische vergelijking, indien b niet deelbaar is door a, geen oplossing.
Laat men echter deze eis vallen en aanvaardt men een nieuw soort getal is die de verhouding van twee gehele getallen voorstelt (d.i. een zogenaamd gebroken getal of breuk -schrijfwijze m / n-), dan is er wel een oplossing. Een dergelijke oplossing is bvb nuttig en aanvaardbaar wanneer maatgetallen aan bod komen (metingen) of bij verdelingsproblemen (verdeling van een stuk grond, van een taart bvb).
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent echter dat men het stelsel der natuurlijke of gehele getallen uitbreidt met de gebroken getallen of breuken. Het aldus ontstane nieuwe stelsel wordt het stelsel der positieve meetbare getallen genoemd. De vraag stelt zich welke de rekenregels zijn voor dit nieuw soort getallen, hoe men de som (m / n + k / p) of product (m /n x k/ p) van dergelijke getallen moet berekenen en i.h.b. hoe deze regels kunnen afgeleid worden. Ze moeten immers ook coherent zijn met de voorgaande regels voor de natuurlijke getallen.
Deze nieuwe rekenregels zijn in het primair onderwijs een ware nachtmerrie voor vele schoolbengels. Tot zij snappen wat eigenlijk met gelijknamigheid bedoeld wordt en hoe gelijknamigheid kan verkregen wordt. Zoals men geen peren bij appelen kan tellen kan men bvb ook geen "vierdes bij "achtes" optellen. Dat kan wel na op gelijke noemer ("naam") brengen... Waarom echter voor het product van breuken de tellers respectievelijk de noemers met elkaar moeten vermenigvuldigd worden was echter niet duidelijk...
2- Vergelijkingen als x + b = c en a.x + b = c waarin a, b, c natuurlijke of gehele getallen zijn suggereren een verruiming van het getalbegrip tot respectievelijk negatief geheel getal en negatief gebroken getal of breuk.
De oplossing is hier x = c b respectievelijk x = (c b) / a en is slechts aanvaardbaar indien c > b (de aftrekking tussen twee natuurlijke of gehele getallen is alleen in dit geval gedefinieerd). Indien c < b dan is b c wel gedefinieerd en men zou de wortels van de vergelijkingen kunnen voorstellen door de tegengestelde getallen (b c) respectievelijk (b c) / a, een negatief geheel getal (d.i. een natuurlijk getal of gebroken getal voorafgegaan door een minteken, toestandsteken genoemd: schrijfwijze: - m , respectievelijk negatief gebroken getal - m / n) . Een dergelijke oplossing is bvb voor bepaalde reële problemen bvb schulddelging wel aanvaardbaar.
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent echter dat men het stelsel der meetbare getallen uitbreidt met de negatieve getallen. Het aldus ontstane stelsel kan dan het stelsel der positieve en negatieve meetbare getallen genoemd worden. Weer stelt zich hier de vraag welke de rekenregels zijn voor dit nieuw soort getallen en i.h.b. hoe deze regels kunnen afgeleid worden.
Wie herinnert zich niet de tekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen? Deze regels werden voor het eerst helder geformuleerd door Rafael Bombelli (2) , de grondlegger van complexe getallen. Scholieren werden in het Hoger Primair of Lager Middelbaar geconfronteerd met wat men in Nederland "sommetjes maken" noemt en velen haakten hierbij af.
Ook hier moet er natuurlijk coherentie zijn met de voorgaande regels voor de positieve meetbare getallen en dat is heel wat minder evident. Negatieve getallen werden derhalve zelfs niet algemeen aanvaard, althans in de 16de eeuw.
3- Vergelijkingen als x² = a en xn = b waarin a en b positieve meetbare getallen zijn (a > 0 en b >0), suggereren een verdere uitbreiding tot de onmeetbare of irrationale getallen.
De oplossingen kunnen hier geschreven worden als een wortelvorm x = √a respectievelijk x = n√b ; stelt men nu de eis dat de oplossing van de vergelijking een meetbaar getal moet zijn dan geldt uiteraard dat √a = m / n en n√a = m /n. Hier kan alleen voldaan worden indien a een volkomen kwadraat (d.i. a = (m / n)²) respectievelijk een volkomen nde macht (d.i. a = (m / n)n ) is van m /n. Voor alle andere getallen a is er geen oplossing.
Meer nog in dit geval kan men aantonen dat noch √a noch n√a uitgedrukt kunnen worden als een positief meetbaar getal en dus stellen deze uitdrukkingen bijgevolg onmeetbare getallen voor (3) .Uit de stelling van Pythagoras blijkt nu dat dergelijke getallen bestaansrecht bezitten: zo wordt bvb de diagonaal van een vierkant met zijde 1 uitgedrukt door het getal √2. Het tegengesteld getal van een onmeetbaar getal is uiteraard een negatief onmeetbaar getal.
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent derhalve dat men het stelsel van positieve en negatieve de meetbare getallen verruimd met de positieve en negatieve onmeetbare getallen. Het op deze manier ontstane nieuwe stelsel wordt het stelsel der reële getallen genoemd.
Met onmeetbare getallen werd al sinds het begin van de 16de eeuw "gerekend", hoewel velen zich afvroegen of het inderdaad wel getallen waren. Het grote probleem bij de onmeetbare getallen blijkt immers hun preciese relatie met en het in coherentie brengen van de vier hoofdbewerkingen met de meetbare getallen.
Diverse theorieën werden dienaangaande ontwikkeld o.m. door Dedekind, Cauchy en... Daudet, een medewerker van Schuh!! (zie cursiefje « Arithmetiek volgens Schuh (3) »)
Let wel dat indien x een relatief getal voorstelt er voor de vergelijking x² = a (met natuurlijk a > 0) er twee oplossingen zijn x1 = + √a en x2 = - √a immers niet alleen (+ √a)² = a maar ook (- √a)² = a
4- Een vergelijking van het type x2 = -a waarin -a een negatief meetbaar getal is, suggereert een uitbreiding tot de imaginaire getallen.
Theoretisch zou men als wortel evenzeer kunnen stellen dat hier ook geldt x = √-a maar het kwadraat van een negatief getal is steeds een positief getal. Bij definitie werd nu √-a = i. √a waarin a uiteraard een positief getal is en i = √(-1) m.a.w. i² = -1 .
Een dergelijke product noemt men dan een imaginair getal(4) waarvan in eerste benadering alleen de tweede term van het product √a bestaat. Hebben op een dergelijke wijze gedefinieerde getallen bestaansrecht?
De studie van de vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0 leert dat er steeds, zelfs indien er geen reële wortels x1 en x2 bestaan (discriminant D = (b² - 4ac) kleiner dan 0), er wel degelijk een reële som en product van twee imaginaire wortels z1 en z2 bestaat waarvan de som altijd reëel is en gelijk aan b / 2a en het product eveneens reëel is en gelijk aan c /a..
Volgens de klassieke abc-formule worden de wortels van een vierkantsvergelijking gegeven door: x1 = - b / 2a + √D / 2a en x2 = - b /2a - √D / 2a .
Deze imaginaire wortels zijn dan volgens Bombelli te schrijven als: z1 = - b / 2a + i√D / 2a en z2 = - b /2a - i√D / 2a want uit deze uitdrukkingen volgt dat inderdaad z1 + z2 = - b /2a en z1 . z2 = c /a .
Men merkt op dat deze wortels z1 en z2 bestaan uit twee termen: de eerste term is een reëel getal, de tweede term een imaginair getal. Uitdrukkingen van de vorm A + B.i (I) en A B.i (II) worden nu complexe getallen (4) genoemd ; ze bestaan steeds uit een reëel deel A en een imaginair deel B.i . De uitdrukkingen (I) en (II) zijn toegevoegde complexe getallen.
Aanvaarden van een dergelijke oplossing betekent dat men het stelsel van de reële getallen verruimd tot de complexe getallen. Reële getallen zijn dan immers complexe getallen waarvan het tweede lid nul is (B = 0). Het nieuwe stelsel getallen wordt het stelsel van de complexe getallen genoemd en dit stelsel omvat dus ook de reële getallen.
Ook hier zijn er aantal specifieke, voor de niet- ingewijden zeer verrassende rekenregels en die moeten natuurlijk coherent zijn met deze van de rekenregels van de reële getallen. Ofschoon al in de 16de eeuw ontdekt door Bombelli, heeft het tot de 19de eeuw geduurd vooraleer complexe getallen algemeen aanvaard werden.
Als men al de rekenregels van die verschillende soorten getallen overschouwt, heeft dit alles toch veel weg van een trucjes-doos. Alle samenhang bleek zoek te zijn en er was een Schuh nodig om mij op de goede weg te helpen.
Tenslotte nog een woord over de transcendente getallen. Een getal wordt transcendent genoemd wanneer het geen oplossing (wortel) kan zijn van een algebraïsche vergelijking van willekeurige eindige graad (5) .
II- Schuhs Voorbereidend Deel op Integraal- en Differentiaalrekening (partim Getalkunde)
Het was eind 1959, tijdens mijn verblijf op de Gentse Alma Mater, dat ik dit zeer merkwaardig boek bij toeval ontdekte. In het Voorwoord schreef Schuh:
Dit Deel begint met een volledige behandeling van het getalbegrip, steunende op het begrip natuurlijk getal dat ik als uitgangspunt heb genomen zonder dat het aan een dieper gaande analyse te onderwerpen. Uit de zonder bewijs vooropgestelde grondeigenschappen der natuurlijke getallen worden hun overige eigenschappen afgeleid, ook die betreffende deelbaarheid en ontbinding in priemfactoren. Achtereenvolgens worden aan het getallenstelsel toegevoegd de positieve gebroken getallen, daarna nul met de positieve meetbare getallen (volgens Baudet), vervolgens de negatieve getallen en ten slotte de imaginaire getallen. Van de verschillende manieren, waarop het getallenstelsel kan worden uitgebreid, heb ik slechts die besproken, welke mij uit wetenschappelijk oogpunt de beste lijkt
Ook in zijn tweedelig « Nieuw Leerboek der Hogere Algebra » (1943), boek dat ik mij eerst maar in 1968 zal aankopen (zie cursiefje « Algebra volgens Schuh »), verwees Schuh naar dit Voorbereidend Deel op Differentiaal- en Integraalrekening:
Wie zich over het reële getal, en ook voor over de deelbaarheidseigenschappen van natuurlijke getallen, volledig wil oriënteren, raadplege het Eerste deel (Voorbereiding) van mijn Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening, waarin het getalbegrip ontwikkeld wordt uitgaande van het natuurlijk getal
Daar ik gefascineerd was door Getallen, behoorde dit Voorbereidend Deel in 1959 al zeer snel tot mijn lievelingsliteratuur. De vele aantekeningen, die ik in het boek gemaakt heb, tonen dit duidelijk aan. Ik had mij zelfs, de Snor indachtig, een formuleboekje aangelegd, waarin de formules en de voornaamste stellingen, die in het boek voorkwamen, genoteerd werden .
Ziehier nu de gedetailleerde inhoud van het gedeelte Getalkunde, dat in het boek amper 85 paginas beslaat:
A- De Natuurlijke Getallen
Hoofdstuk 1 Het werken met natuurlijke getallen:
1- Grondeigenschappen: §1 natuurlijke getallen als middel om te tellen §2 grondeigenschappen der natuurlijke getallen
2- Afgeleide eigenschappen: §3 het begrip afgeleide eigenschap §4 afgeleide eigenschap der volgorde §5 ondubbelzinnigheid der aftrekking §6 verdere afgeleide eigenschappen der aftrekking §7 afgeleide eigenschappen der volgorde in verband met aftrekking
3- Volledige inductie: §8 bewijs door volledige inductie §9 wijziging der volledige inductie §10 andere wijziging der volledige inductie
Hoofdstuk 2 Deelbaarheid van natuurlijke getallen:
1- Deelbaarheid: §11 definitie van deelbaarheid §12 eigenschappen der deelbaarheid §13 verdere eigenschappen der deelbaarheid §14 niet- opgaande deling
2- Gemene delers: §15 gemene delers van twee natuurlijke getallen §16 algorithmus van Euclides ter bepaling van de gemene delers 17 G.G.D. §18 kenmerk voor G.G.D. §19 hoofdstelling der deelbaarheid §20 K.G.V.
3- Priemgetallen: §21 priemgetallen en deelbare getallen §22 deelbaarheid van een product door een priemgetal §23 ontbinding van een natuurlijk getal in priemfactoren §24 fundamentaalstelling van de rekenkunde
4- Machtsverheffing: §25 machtsverheffing en eigenschappen daarvan §26 toepassing van machtsverheffing op ontbinding in priemfactoren §27 zuivere nde macht §28 onderzoek of een natuurlijk getal priem is
B- De Positieve Meetbare Getallen
Hoofdstuk 3 Invoering der positieve meetbare getallen:
1- Positief meetbaar getal: §29 gelijkheid van getallenparen §30 klasse van getallenparen §31 het begrip positief meetbaar getal §32 natuurlijke getallen als bijzondere gevallen
2- Optellen en vermenigvuldigen: §33 optelling van positieve meetbare getallen §34 ondubbelzinnigheid der aftrekking §35 bewijzen van de overige grondeigenschappen der optelling §36 vermenigvuldiging van positieve meetbare getallen §37 bewijzen der grondeigenschappen
3- Volgorde der positieve meetbare getallen: §38 groter en kleiner bij positieve meetbare getallen §39 bewijs van de grondeigenschap der volgorde §40 aftrekking van positief meetbare getallen §41 afgeleide eigenschappen voor positief meetbare getallen
Hoofdstuk 4 Deling van positieve meetbare getallen:
1- Mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling: §42 grondeigenschap der deling § 43 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling van positief meetbare getallen §44 verband tussen quotiënt en reciproke waarde §45 eigenschap betreffende reciproke waarde
2- Afgeleide eigenschappen der deling: §46 verdere afgeleide eigenschappen §47 afgeleide eigenschappen der volgorde in verband met de deling §48 het tussenschuiven van positief meetbare getallen §49 positief meetbaar getal als quotiënt van twee natuurlijke getallen
3- Breuken: §50 eigenlijke en oneigenlijke breuken §51 onvereenvoudigbare breuk §52 zuivere nde macht van een breuk
4- Nog iets over de volgorde: §53 nog een grondeigenschap der volgorde §54 eigenschap van Archimedes
C- De Niet- Negatieve reële Getallen
Hoofdstuk 5 De niet-negatieve reële getallen volgens Baudet:
1- Niet- negatief reëel getal: §55 opmerking vooraf §56 het begrip getalverzameling §57 majoranten van een getalverzameling §58 klasse van gelijke getalverzamelingen §59 positief meetbare getallen als bijzondere gevallen
2- Nul en de positieve onmeetbare getallen: §60 het getal nul §61 de positieve onmeetbare getallen §62 voorbeeld van een positief onmeetbaar getal
3- Volgorde der niet- negatieve reële getallen: §63 groter en kleiner bij niet-negatieve reële getallen §64 aansluiting aan groter en kleiner bij positieve meetbare getallen §65 eigenschap van een majorant §66 de begrippen positief en negatief §67 bewijs der grondeigenschap der volgorde
4- Onderste grens: §68 onderste grens van een getallenverzameling §69 stelling van de onderste grens §70 bewijs der stelling van de onderste grens
Hoofdstuk 6 Optellen en vermenigvuldigen van niet-negatieve reële getallen:
1- Majoranten: §71 onafhankelijkheid der beschouwingen van de definitie van een niet- negatief reëel getal §72 majorant van een niet- negatief reëel getal §73 onderste grens der majoranten
2- Optelling: §74 som van twee niet-negatieve reële getallen §75 aansluiting aan de som van twee positieve meetbare getallen §76 eigenschap van de som van twee niet-negatieve reële getallen §77 bewijzen van de overige grondeigenschappen der optelling §78 moduluseigenschap der optelling
3- Vermenigvuldiging: §79 product van twee niet-negatieve reële getallen §80 eigenschap van het product van twee niet-negatieve reële getallen §81 bewijzen van de overige grondeigenschappen der vermenigvuldiging §82 bewijs van de grondeigenschap der vermenigvuldiging en optelling
4- Insluiten tussen meetbare getallen: §83 insluiting van een positief reëel getal tussen twee positieve meetbare getallen §84 wijziging der insluiting
5- Overige grondeigenschappen der volgorde: §85 bewijs van de grondeigenschap der volgorde in verband met optellen §86 grondeigenschap der volgorde in verband met vermenigvuldigen
Hoofdstuk 7 Verdere eigenschappen van niet-negatieve reële getallen:
1- Aftrekking: §87 bewijs van de grondeigenschap der aftrekking §88 enige afgeleide eigenschappen der volgorde §89 stelling omtrent de mogelijkheid der aftrekking §90 gevolgen van de mogelijkheid der aftrekking §91 ondubbelzinnigheid der aftrekking
2- Deling: §92 bewijs van de grondeigenschap der deling §93 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling §94 ontoelaatbaarheid der deling door nul §95 geval dat een product nul is
3- Rol van het getal nul: §96 som van nul termen en product van nul factoren §97 macht met exponent nul §98 sommen en producten genoteerd met Σ en Π §99 toepassing op ontbinding in priemfactoren
D- De Reële Getallen
Hoofdstuk 8 Invoering der reële getallen:
1- Reëel getal: §100 grondeigenschappen van de reële getallen §101 nieuw soort getallenparen §102 reëel getal §103 niet-negatieve reële getallen als bijzondere gevallen
2- Optellen en vermenigvuldigen: §104 optelling van reële getallen §105 vermenigvuldiging van reële getallen §106 bewijzen der grondeigenschappen van optelling en vermenigvuldiging
3- Volgorde der reële getallen: §107 groter en kleiner bij reële getallen §108 bewijzen van twee andere grondeigenschappen der volgorde §109 positieve en negatieve reële getallen
4- Aftrekken en delen: §110 bewijzen van de grondeigenschappen der aftrekking en der deling §111 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der aftrekking van reële getallen §112 verband tussen verschil en tegengestelde §113 getallenpaar als verschil §114 andere betekenis van tegengestelde
5- Verdere afgeleide eigenschappen: §115 het rekenen met verschillen §116 enige afgeleide eigenschappen der volgorde §117 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling §118 de benamingen der getallen
Hoofdstuk 9 Enige stellingen over reële getallen:
1- Onderste en bovenste grens: §119 stelling van de onderste grens voor de reële getallen §120 bewijs van de stelling van de onderste grens voor de reële getallen §121 stelling van de bovenste grens §122 bewijs der stelling van de bovenste grens §123 uitbreiding van de begrippen onderste en bovenste grens §124 stellingen betreffende onderste en bovenste grens
2- Stellingen betreffende tussen: §125 insluiting van een reëel getal tussen meetbare grenzen §126 meetbare getallen tussen twee reële getallen §127 onmeetbare getallen tussen twee reële getallen
3- Nog enige stellingen: §128 absolute waarde van een reëel getal §129 toepassing der negatieve getallen op de rest der deling
Hoofdstuk 10 Verdere stellingen over reële getallen:
1- Enige formules: §130 merkwaardig quotiënt §131 negatieve gehele exponenten §132 formule voor een macht van een polynoom
2- Enige ongelijkheden: §133 ongelijkheid betreffende een macht §134 uitbreiding der stelling tot gehele exponenten §135 andere ongelijkheden betreffende een macht §136 nog een ongelijkheid betreffende een macht
3- Het bestaan van de nde wortel: §137 het bestaan van nde machten tussen twee grenzen §138 gevolg van deze stelling §139 ondubbelzinnigheid van de nde wortel §140 bewijs van het bestaan van de nde wortel
E- De Complexe Getallen
Hoofdstuk 11 Invoering der complexe getallen:
1- Het rekenen met complexe getallen: §141 nog een ander soort getallenparen §142 optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen §143 bewijzen van de grondeigenschappen der optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen §144 aftrekking van complexe getallen §145 deling van complexe getallen §146 kanonische vorm van een complex getal
2- Toegevoegd complexe getallen: §147 definitie van toegevoegd complex getal §148 enige stellingen over toegevoegd complexe getallen §149 toepassing van toegevoegd complexe getallen op deling
Hoofdstuk 12 Verdere beschouwingen over complexe getallen:
1- Stellingen over de modulus: §150 modulus van een complex getal §151 modulus van een product en van een quotiënt §152 modulus van een som van complexe getallen
2- Meetkundige voorstelling: §153 meetkundige voorstelling der complexe getallen §154 meetkundige voorstelling van optelling en aftrekking van complexe getallen
3- Het ontbreken der volgorde: §155 het niet bestaan van groter en kleiner bij complexe getallen *§156 de onmogelijkheid van uitbreiding van het stelsel der reële getallen met behoud van de volgorde
Wat ik nu zeer merkwaardig vond in dit Voorbereidend Deel dat er nergens meetkundige hulpmiddelen werden gebruikt voor het bewijzen van stellingen. Zo was er hier geen sprake van de getallen- rechte, die in mijn humaniora dienst had gedaan voor de afleiding van de rekenregels voor de relatieve getallen. Schuh sprak zich dienaangaande als volgt uit:
Al heb ik voor het bewijzen van analytische stellingen geen meetkundige hulpmiddelen gebruikt, toch heb ik achteraf, waar het mij wenselijk voorkwam, meetkundige beschouwingen toegevoegd, door figuren verduidelijkt. Wat dit Eerste Deel betreft, noem ik de meetkundige voorstelling der complexe getallen, de grafieken der besproken functies en de meetkundige betekenis van cosinus en sinus. De rol die de figuur daarbij in hoofdzaak speelt, kan kort worden aangegeven door de woorden doen onthouden en doen vinden, een rol dus, die geenszins onbelangrijk te achten is, al ligt deze buiten het bewijzen. De figuur kan dus dienen om het geheugen te steunen, waarbij ik wijs op de grafieken van functies, en verder als heuristisch middel, dus om een stelling of een bewijs op het spoor te komen; in dit geval kan ik noemen de meetkundige voorstelling der optelling en aftrekking van complexe getallen .
Complexe getallen kunnen immers aanschouwelijk worden voorgesteld, door ze af te beelden als punten van een plat vlak bepaald door een rechthoekig assenkruis (xOy). Zij het complexe getal z = x + yi (x en y reëel). Op de x-as wordt het reële deel x van het complexe getal, op de y-as het imaginaire deel y afgemeten. Het punt (x,y) wordt het beeldpunt van het complexe getal z genoemd en het vlak het complexe vlak van Gauss.
Maar als men getallen als meetkundige punten beschouwd komt men al snel op het idee van een getallen- ruimte: als reële getallen op een getallenrechte liggen en complexe getallen in een getallenvlak, welk soort getallen liggen er dan in een getallenruimte?? En inderdaad en dergelijke uitbreiding van het complexe getal, de zogenaamde quaternionen (6) werd door William Hamilton (7) al in 1843 voorzien .
3 Nabeschouwingen:
Schuhs Getalkunde of Getallenleer is ontwikkeld uit de Klassieke Hogere Algebra en behoort derhalve tot de Klassieke Wiskunde. Een dergelijke benadering is ook voor niet-wiskundigen gemakkelijk te volgen en er is geen voorafgaande kennis van Moderne Xiskunde (axiomas van Peano enz. ) nodig om deze Getallenleer te begrijpen, wat met de huidige monografieën zoals bvb Frans Keunes « Getallen, van natuurlijk naar imaginair » (Epsilon, -2009-) wel degelijk het geval is.
Laatstgenoemd boek is echter, zoals in het Voorwoord vermeld, in de eerste plaats bestemd voor toekomstige wiskundigen en is begonnen als een dictaat bij het college Getallen aan de Radboud Universiteit Nijmegen.
Jarenlang heb ik mij afgevraagd welk referentiewerk aan de basis gelegen had van Schuhs meesterlijke samenvatting van de Getalkunde. Tot ik in zijn « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde » (zie volgend cursiefje) op de naam Hermann Hankel viel. Naar mijn mening is het Hermann Hankel s « Vorlesungen uber die complexen Zahlen und ihre Functionen » Theil I Theorie der complexen Zahlensysteme (1867), die als basis van Schuhs samenvatting gediend heeft.
Deze basisreferentie is grotendeels via Internet te raadplegen (8) . Ook de quaternionen van Hamilton worden in dit werk vermeld en op analoge wijze ontwikkeld!
In de bijlagen van dit cursiefje vindt men een foto van Hermann Hankel , vermoedelijk een leermeester van Fred Schuh.
Interessante Diophantische vergelijkingen hebben natuurlijk betrekking op vergelijkingen met meerdere onbekenden bvb a.x + b.y = c. of x² + y² = z² of nog xn + yn = zn
(Hoofdstuk 8 "Over Boekencollecties en Uitgevers")
§ 8.2 Dover en Dunod
1° De collectie Dover
Zoals de collectie Que sais-je? werd Dover Publications in 1941 opgericht door Hayward Cirker (1918-2000) (1) . Deze Amerikaanse uitgeverij is gekend voor het uitgeven van herdrukken van literaire klassiekers en van partituren van klassieke muziek. Ze verzorgt echter ook de herdruk van wetenschappelijke teksten, die tot het publiek domein behoren, of waarvan de oorspronkelijke uitgever afstand heeft gedaan van zijn publicatierecht. Dit verklaart waarom Dover-boeken erg goedkoop zijn.
De eerste publicatie van Dover was aldus « Tables of Functions with Formulas and Curves » van Eugene Jahnke en dateert van 1943. De heruitgave van dit boek was een groot commercieel succes want in 1945 was er al een 4de herdruk nodig.
In 1951 ging de uitgeverij over tot het erg handige en duurzame «trade paperback format», een soort pocket formaat. Vanaf 1983 publiceerde Dover ongeveer 170 nieuwe titels per jaar en in 2000 omvatte de cataloog ongeveer 7000 titels, waarvan een 300 wetenschappelijke werken (2) . Vele van die titels zijn uitgeput en in herdruk,die jaren kan aanslepen...
Mijn eerste Dover- boek was Theoretical Mechanics an introduction to mathematical physics- van Joseph Sweetman Ames and Francis Murnaghan (zie ikoon van dit cursiefje). Ik kocht dit boek enigszins uit frustratie: er was die onbegrijpelijke en onbegrijpbare cursus van Moens, nietwaar (zie cursiefje Algemene Natuurkunde voor bachelors). Maar ook en vooral omwille van het eerste, 75 paginas tellende, hoofdstuk getiteld Vectoranalysis.
Vectoriële analyse was immers een materie, die mij al in 1959 sterk interesseerde en waarvan ik begon in te zien dat ze van doorslaggevend belang was voor het doorgronden en begrijpen van de veldtheorie(gravitatie en electromagnetisme).
In snel tempo volgden dan Ordinary Differential Equations van Ince, Partial Differential Equations for Mathematical Physics van Webster, en Maxwells Treatise in Electricity and Magnetism (2 volumes). Van vele hoofdstukken begreep ik in het begin geen iota, maar dat veranderde met de jaren. Een must voor mij, een Grieks-Latinist, was natuurlijk ook het drie volumes tellende Euclid, the Thirteen books of the Elements van Sir Thomas Heath. Daarbij kwamen vele jaren later de geschriften van Archimedes, van Apollonius, van Aristarchos van Samos..
Het was ook in die heroïsche periode dat ik mij buiten de Dover- reeks Theory of Equations van J. V. Uspensky (McGraw-Hill, -1948) en Introduction to Quantum Mechanics van Linus Pauling en Bright Wilson (Mc Graw-Hill, -1935-) aankocht, monografieën, die mij veel bijgebracht hebben en die ik beschouwde als evenzeer deel uitmakend van mijn Dover- collectie.
In de jaren zestig verkregen bvb Theoretical Mechanics van Bradbury (1969) en Introduction to Modern Electromagnetics van Durney en Johnnson (1968), allebei van McGraw-Hill International Student Edition , ook een vast plaatsje in mijn bibliotheek.
Met de jaren bouwde ik aldus mijn collectie meer en meer uit bvb door de aankoop van monografieën, die handelden over de geschiedenis van de wiskunde (A History of Greek Mathematics van Thomas Heath) of over de moderne scheikunde (General Chemistry van Linus Pauling; A path to the double helix the discovery of DNA").
Dover was voor mij ook soms een terugkeer naar het verleden:boeken, die ik alleen in een of andere universitaire bibliotheek had kunnen raadplegen, kon ik enkele jaren later tegen een spotprijs verwerven.
Van uitzonderlijk groot belang waren aldus voor mij bvbde boeken van Robert Weinstock « Calculus of Variations with applications to Physics and Engineering » en van Cornelius Lanczos «The variational Principles of Mechanics ». Het eerste boek leerde mij datin werkelijkheideenvoudige variationele beginselende Natuur beheersen en deware Natuurwetten vormen; het tweede liet mij toede fameuze ezelsbrug naar de zogenaamde "Analytische Mechanica" te nemen.
Voor het eerst drong het tot mij door dat variationele beginselen wellicht niet alleen de «dode» materie, maar ook de «levende» materie regelen en beheersen Een totaal vergeten boek als On Growth and Form van DArcy Wenworth Thompson was een mooie illustratie van deze stelling.
- monografieën i.b.t. wiskunde:
- « Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra and Analysis » F. Klein (2004,-1932-)
- « Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry » F. Klein (2004, -1939-)
- « Elementary Number Theorysecond edition- » U. Dudley (2008, -1978-)
- « Number Theory » G. Andrews (1994, -1971-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 1: Books I and II » second edition T. Heath (1956, -1925-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 2: Books III to IX » second edition T. Heath (1956, -1925-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 3: Books X to XIII » econd edition (1956, 1925-)
- « The Works of Archimedes -edited in modern notation with introductory chapters- » T. Heath (Adamant -2005-, -1897-)
- « Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections -edited in modern notation- » T. Heath (Bibliolife -1896-) buiten reeks
- « Mathematics for the Nonmathematician » M. Kline (1985, -1967-)
- « What is Mathematics? second edition- » Richard Courant and Herbert Robbins revised by Ian Stewart (Oxford University Press -1994-, 1941-) buiten reeks
- « A long way from Euclid » C. Reid (1991, -1963-)
- « Information Theory » R.B. Ash (1965)
- « Famous Problems in Geometry and How to solve them » B. Bold (1982, -1969-)
- « Fundamental Concepts in Geometry » B. Meserve (1983, -1959-)
- « Geometry, a comprehensive course » D. Pedoe (1988, -1970-)
- « Introduction to Topologythird edition- » B. Mendelson (1990, -1962-)
- « A history of Greek Mathematicsvolume I: from Thales to Euclid- » T. Heath (1981, -1921-)
- « A History of Greek Mathematics -volume II: from Aristarchus to Diophantus- » T. Heath (1981, -1921-)
- « The History of Calculus and is Conceptual Development » C. Boyer (1959, -1949-)
- « The History of Analytical Geometry » C. Boyer (2004, -1956-)
- « A History of Mathematics -second edition- » Carl Boyer (Wiley -1991, -1968-)
- « The Geometrical Foundation of Natural Structure a source book of design- » (1979, -1972-)
- « Lectures on Classical Differential Geometry -second edition- » D. Struik (1994,-1961-)
- « Differential Geometry » E. Kreyszig (1991, -1963-)
- « Mathematics of Classical and Quantum Physics » F. Byron and R. Fuller (1992, -1970-)
- « Concepts of Modern Mathematics » I. Stewart (1995, -1975-) buiten reeks
- « Introduction to Analysis » M. Rosenlicht (1986, -1968-)
- « Essential Calculus with Applications » Richard Silverman (1989, -1977-)
- « Modern Calculus and Analytical Geometry » Richard Silverman (1969, -2002-)
- « Calculus: an intuitive and physical approach » Morris Kline (1967, -1998-)
- «Theoretical Mechanics of Paricles and Continua » L. Fetter and J. Walecka (2003)
- « Nonlinear Mechanics a supplement to Theoretical Mechanics of Paricles and Continua- » L. Fetter and J. Walecka (2006)
- « Concepts of Mass in Classical and Modern Physics » M. Jammer (1997, -1961-)
- « Concepts of Force » H. Jammer (1957)
- « Concepts of Space the history of theories of spaces in physics- » H. Jammer(1969, -1954-)
- « A Treatise in Electricity and Magnetism vol 1:Electrostatics and Magnetism » J. C. Maxwell (1952, -1891-)
- « A Treatise in Electricity and Magnetism vol 2: Electromagnetics » J. C. Maxwell (1952, -1891-)
- « Introduction to Modern Electromagnetics » Carl Durney and Curtis Johnnson (Mc Graw-Hill International Student Edition -1969-) buiten reeks
- « The Mathematical Basis of Electrical and Optical Wave Motion » (1955)
- « An Introduction to Relativistic Quantum Theory » H. Bethe and S. Schweber (2009)
- « Theoretical Nuclear Physics » J. Blatt and V. Weiskopf (1979 -1952-)
- « Quantum Theory » David Bohm (2003)
- « Quantum Theory of Many-Particle Systems » L. Fetter and J. Walecka (2003, -1971-)
- « Atomic Physics » M. Born (1969)
- « Radiative Transfer » S. Chandrasekhar (1960)
- « The Thermodynamics of Electrical Phenomena in Metals » P. W. Bridgman (1961, -1934-)
- « Burnhams Celestial Handbookvol. I, II and III » R. Burnham (1978, -1966-)
- « Aristarchus of Samos: the ancient Copernicus » T. Heath (2009, 1981, -1913)
- « An elementary survey of Celestial Mechanics » Y. Ryabov (2006, -1961-)
- « An introduction to Celestial Mechanicssecond revised edition- » F. Moulton (1970, -1914-)
- « A Textbook on Spherical Astronomysixth edition revised by R.M. Green- » W. Smart (1990, -1970-)
- « Hydrodynamics » H. Dryden, F. Murnaghan and H. Bateman (1956)
- « Fluid Mechanics » R. Granger (1995)
- « Photometry » J. Walsh (1958)
- « Introduction to Modern Optics » G. Fowles (1989)
- « Fundamentals of Quantum Optics » J. Klauder and E. Sudarskan (2006)
- monografieën i.b.t scheikunde en biologie:
- « On Growth and Form » DArcy Wenworth Thompson (2009, -1912-)
- « A path to the double helix the discovery of DNA- » R. Olby (1994, -1974-)
- « General Chemistry » L. Pauling (1988, -1969-)
- « An introduction to Quantum Mechanics » L. Pauling and E. B. Wilson (McGraw-Hill, -1938-) buiten reeks
- « Modern Quantum Chemistry introduction to advanced electronic structure theory- » A. Szabo and N. Ostlund (1996,-1972-)
- « Group Theory and Chemistry » D. Bishop (1993, -1973-)
- « Symmetry and Spectroscopyan introduction to vibrational and electronic spectroscopy- » D. Harris and M. Bertolucci (1989)
- « Atomic Spectra and Atomic Structure » G. Herzberg (1944)
- « Crystal Chemistry and Refractivity » G. Jaffé (1996, -1988-)
2° De collectie Dunod
Dunod (3) is een uitgeverij gespecialiseerd in technische en wetenschappelijke werken voor professioneel of educatief gebruik. Een wetenschappelijke boekhandel Dunod bestond al in de 19de eeuw en was gevestigd aan de quai des Augustins; vandaag is de zetel van de uitgeverij gevestigd in de rue de Laromiguière te Parijs. De uitgeverij brengt naast de eigenlijke Dunod reeks ook nog de collectie Edisciences uit. Naast werk van Franse auteurs, bracht deze uitgeverij ook veel vertalingen van Angelsaksische auteurs (waaronder bvb de fameuze Feynmans Lectures en de Berkeley Courses ) op de markt. Enkele monografieën zoals bvb Treadwell waren beslissend voor mijn wetenschappelijke loopbaan.
Voor wat betreft de Technische Natuurkunde is vooral de reeks van José-Philippe Pérez, hoogleraar aan de Universiteit Paul Sabatier te Toulouse, aan te bevelen. Deze reeks is specifiek bestemd voor bachelors die zich voorbereiden op het eindexamen C.A.P. (Certificat d'Aptitude Professionelle). Daarentegen zijn de "Cours de Physique de Berkeley" of de "Cours de Physique de Feynman" meer geschikt voor bachelors, die een master beogen.
- monografieën i.v.m. wiskunde:
- « Et Dieu créa les Nombresles plus grands textes de mathématiques réunis et commentés- » (Stephen Hawking -2006-)
- « Analyse de Fourier et Applicationsfiltrage, calcul numérique et ondelettes- » (C. Gasquet et P. Witomski -2000-)
- « Mathématiques appliquées aux Sciences de la Vie et de la Planète » (M. Ghil et J. Roux -2010-)
- « Cours de Topologie » (G. Choquet -2000-)
- monografieën i.v.m. natuurkunde:
- « Sur les Epaules des Géants » (Stephen Hawking -2003-)
- « Introduction à la Mécanique quantique » (J. Hladik et M. Chrysos -2000-)
- « Introduction à la Relativité restreinte » (J. Hladik et M. Chrysos -2001-)
- « La Théorie de la Relativité restreinte et Générale » (A. Einstein -1923-, -2004-)
- « Albert Einstein, la Vie et luvre » (A. Pais -2005-)
- « Le Calcul Tensoriel en Physique » (J. Hladik et P.E. Hladik -1999-)
- « Cours de Physique Berkeley -volume 1: Mécanique- » (C. Kittel, et al. -2001-)
- « Cours de Physique Berkeley volume 2: Electricité et Magnétisme- » (E. Purcell -1998-)
- « Cours de Physique Berkeleyvolume 3: Ondes- » (F. Crawford -1999-)
- « Cours de Physique Berkeley volume 4: Physique quantique- » (E. Wichmann éd. A. Colin -1974-)
- « Cours de Physique Berkeley -volume 5: Physique statistique- » (F. Reif -2000-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique I- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique II- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Electromagnétisme I- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Electromagnétisme II- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique quantique- » (-1965-, -2000-)
- « Fondements et Applications: Mécanique » (J.P. Perez -2000-)
- « Fondements et Applications: Relativité » (J.P. Pérez -1999-)
- « Fondements et Applications: Electromagnétisme » (J.P. Pérez -2002-)
- « Fondements et Applications Optique » (J.P. Pérez -2000-)
- « Fondements et Applications: Thermodynamique » (J.P. Pérez -2001-)
- « Fondements et Applications: Electronique » (J.P. Perez et al. -2006-)
- « Physique de lEtat solidecours et problèmes- 7ème édition - » (C. Kittel -2005-)
- « Quantique: Rudiments » (J.-M. Lévy-Leblond et F. Balibar -2006-)
- « La Spectroscopie hertzienne appliquée à la Chimieabsorption dipolaire, rotation moléculaire, résonances magnétiques- » (R. Freymann et M. Soutif -1960-)
- monografieën i.v.m. scheikunde:
- « LADN, de la Cellule aux Manipulations in vitro » (J. Bouvier et F. Bras-Herring -1984-)
- « Chimie Générale Théorique » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1961-)
- « Chimie Générale Minérale » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1961-)
- « Chimie Générale Organique » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1962-)
- « Usuel de Chimie Générale et Minérale » (M. Bernard et F. Busnot -1984-)
- « Chimie Quantique » (A. Julg -1967-)
- « Dynamique chimique » (G. Nicolis -2005-)
- « La Pratique de la Micro-analyse Quantitative » (A. Friedrich -1939-)
- « Technologie et Analyse des Principales Marchandises: préparation des substances inorganiques » (L. Lévy -1930-)
- « Manuel Pratique dAnalyse Organique analyse des principales fonctions de carbone - » (F. Weston -1932-)
- « Manuel de Chimie Analytiquetome II Analyse Quantitative- » (F.P. Treadwell -1943-)
- « Manuel de Chimie Analytique tome I Analyse Qualitative- » (F.P. Treadwell -1947-)
- « La Chromatographie sur couche mince » (G. Vernin -1970-)
- « Précis de Géologie » tome I «Pétrologie» tome II «Paléontologie» tome III «Tectonique» (Aubouin J., Brousse R. et Lehman J.-P. -1967-)
- monografieën i.v.m. biowetenschappen:
- « Biochimie végétale » (Jean Louis Guignard -2000-)
- « La Botanique de A à Z » (A. Marouf et J. Reynaud -2007-)
(Hoofdstuk 8 "Over Boekencollecties en uitgevers")
§ 8.1 MIR en Schaum Outlines
In de vorige eeuw -en voornamelijk vanaf de jaren zestig (de Golden Sixties )- bestonden er een drietal uitgeverijen, die tegen een zeer billijke prijs wetenschappelijke boeken op de markt brachten en die dan ook door de studentengemeenschap intensief werden gekocht.
Zeer bekend in de wetenschappelijke middens waren aldus de collecties MIR, Schaum en Dover. Een aparte en speciale plaats werd (en wordt nog altijd) ingenomen door de op examens gerichte collectie Schaum, waarover ik het verder uitvoerig zal hebben. Hoeveel studenten er geraakt zijn dank zij Schaum is moeilijk te schatten...
Het zijn nu deze boekencollecties, die een zeer belangrijke rol gespeeld hebben tijdens mijn "doctorale" periode aan de V.U.B. Dank zij deze boeken, die handelen over wis-, natuur- en scheikunde, heb ik mijn kennis in betreffende disciplines wat kunnen bijschaven. 1° de collectie MIR:
De uitgeverij MIR werd in 1946 opgericht (1) onder Joseph Stalin en in 1964 hervormd door Alekseï Kosygin. In 2008 werd de maatschappij door een failliet bedreigd, maar de uitgeverij slaagde er toch in te overleven. Deze uitgeverij had tot doel goedkope, wetenschappelijke literatuur van hoog tot zeer hoog niveau op de markt te brengen en deed hiervoor beroep op bekende Russische namen. Om een zo breed mogelijk publiek te bereiken werden ook om propagandistische redenen- de monografieën vertaald in het Frans, Spaans, Portugees,.. en later zelfs in het Engels (boeken bestemd voor Indië). Het loont de moeite even rond te neuzen op de huidige website (2) om zich een idee te vormen van het belang van deze uitgeversmaatschappij.
De oorspronkelijke staatsuitgeverij was gevestigd in een imposant gebouw (zie ikoon) in de Rigastraat in Moskou. Door de staatstussenkomst waren deze boeken uiteraard erg goedkoop en ze vonden dan ook snel ingang in de Westerse studentenwereld, maar natuurlijk niet in de USA.
De monografieën hadden betrekking op wis-, natuur- en scheikunde en velen waren beschikbaar in het Russisch, Frans (3) , Portugees, Spaans... Later werden er zelfs enkele in het Engels vertaald en o.m. door Pergamon Press en MIT Press op de markt gebracht, wat de wetenschappelijke waarde van deze collectie duidelijk aantoont.
Het was mijn groeiende interesse in de biofysica, die mij op het spoor van deze collectie bracht. De meest belangrijke monografieën waren beschikbaar in de boekenwinkel van de ULB, die gelegen was op de hoek van de Adolphe Buyllaan en Paul Hégerlaan. Zo hebben de meeste (aangeduid met een *) dan ook een plaatsje in mijn bibliotheek verworven.
- monografieën handelend over Wiskunde:
De meest belangrijke werken waren hier Cours des Mathématiquean des supérieures van Vladimir Smirnov (4) en Géométrie contemporaine: méthodes et applications van B. Doubrovine, S. Novikov (5) en A. Fomenko. Van dit laatste werk werd in 1992 een Engelse versie met als titel « Modern Geometry - Methods and Applications » door Springer op de markt gebracht. Het boek wordt beschouwd als DE bijbel van de moderne meetkunde.
Het Leerboek van Smirnov handelt hoofdzakelijk over Analyse en richt zich specifiek tot bachelors van de Faculteiten Fysica en Toegepaste Wetenschappen (Ingenieurs). Ook de 2 monografieën van Georgi Chilov Analyse mathématique waren waardevol want een Engelse versie verscheen bij MIT Press respectievelijk onder de titel Elementary Real and Complex Analysis (1973) en Elementary Functional Analysis (1974). Later werden beide boeken door Dover respectievelijk in 1990 en 1992 gepubliceerd en verdeeld.
Andere veel gebruikte monografieën waren van de hand van Nikolaï Efimov en Nikolaï Piskounov en Alekseï Kostrikin (6) en Alexandr Kurosh (7) .
De monografie van Kurosh legt een brug tussen de klassieke algebra en de abstracte algebra en was evenals het boek van Kostrikin bestemd voor bachelors uit de Faculteit Wiskunde. Laatstgenoemd boek behoort ongetwijfeld tot het beste van wat ooit over abstracte of moderne algebra is geschreven.
- « Eléments de calculs numériques » B. Demidovitch et L. Maron (1973)*
- « Eléments de géométrie analytique » N. Efimov (1969)*
- « Cours de Géométrie supérieure » N. Efimov (1981)*
- « Introduction à lAlgèbre » A. Kostrikin (1981)*
- « Cours dAlgèbre supérieur » A. Kurosh (1971)*
- « Calcul Différentiel et Intégral » N. Piskounov (1966)* 867 pages
- « Calcul Différentiel et Intégral -tome II- » N. Pisnoukov (1987)*
- « Equations différentielles ordinaires » L. Pontriaguine (1969)*
- « Analyse mathématique fonctions de plusieurs variables réelles- » G. Chilov (1975)* -english-
- « Théorie mathématique des processus optimaux » L. Pontriaguine et al. (1974)*
- « Théorèmes et Problèmes de lAnalyse fonctionnelle » A. Kirillov (1982)*
- « Cours de Mathématiques supérieures » V. Smirnov
- volume I dérivées et intégrales(1969)*
- volume II équations différentielles(1970)*
- volume IIIA équations algébriques(1970)*
- volume IIIB fonctions(1970)*
- volume IVA(1975)*
- volume IVB(1984)*
- « Equations de la Physique mathématique »S. Godounov (1973)*
- « Méthodes mathématiques de la Mécanique classique » V. Arnold (1976)* -english-
- « Géométrie contemporaine: méthodes et applications » B. Doubrovine, S. Novikov et A. Fomenko(1982)
- Tome 1: « Géométrie de surfaces, des groupes de transformations et des champs »
- Tome 2: « Géométrie et Topologie des Variétés »
- Tome 3: « Méthodes de la Théorie de l'Homologie »
- monografieën handelend over Natuurkunde:
Zeer bekend was hier « Cours de Physique Théorique » van Lev Landau (8) en Evgueni Lifchitz (9) , een oeuvre, dat nog altijd als DE bijbel van de Theoretische Natuurkunde wordt beschouwd. Een Engelse versie (10) van dit monumentale werk verscheen ook bij Pergamon Press (Butterworth- Heinemann).
Van Grigori Landsberg (11) verscheen in 1948-1952 een driedelig zeer populair « Cours élémentaire de Physique », bestemd voor het hoger secundair onderwijs en dat diverse edities kende. De uitgever MIR schrijft over dit werk het volgende:
Le "Cours élémentaire de Physique'', publié pour la première fois en 1948-1952 sous la direction de l'académicien G. Landsberg, fut aussitôt hautement apprécié par les élèves des écoles secondaires, préparant leur baccalauréat. Le succès de cet ouvrage tient surtout au fait qu'il a été conçu par des physiciens éminents qui se sont partagé la tâche d'écrire, chacun dans sa spécialité, une partie de l'ouvrage.
Le premier tome a été conçu par S. Haïkine.M. Issacovitch, M. Léontovitch et D. Sakharov, le tome II, par S. Kalachnikov, et le tome III, par S. Rytov, M. Souchtchinski (avec la collaboration de I. Yakovicv ), F. Landsberg-Barychanskaïa et F. Chapiro. La direction et la rédaction finale de l'ouvrage furent assurées par G. Landsberg (1890-1957), éminent savant et pédagogue.
L'une des caractéristiques marquantes de l'ouvrage est qu'il ne contient que peu de formules et de développements mathématiques, le principal objectif de ses auteurs étant de mettre en évidence la nature des phénomènes physiques. Le niveau de l'exposé, quoique toujours élevé, est cependant parfaitement accessible aux écoliers. Une autre caractéristique de l'ouvrage réside dans le fait que les lois physiques y sont illustrées par un grand nombre d'applications techniques. C'est ce qui distingue ce cours de tous les autres ouvrages du même genre.
Er is bij MIR ook een Engelse versie onder de titel « Elementary Textbook on Physics » (Volumes 1-3, 7th Edition, 1971) beschikbaar.
Het « Cours de Physique Générale » van Dimitri Sivoukhine is van latere datum en bestemd voor bachelors. De oudere versie is praktisch onvindbaar en erg prijzig. MIR voorziet herdrukken maar tegen zeer hoge prijzen.
Thermodynamica bleek in Rusland traditioneel een geliefd werkdomein te zijn. Mikhael Leontovitch en Ivan Bazarov (12) zijn hier de auteurs bij uitstek.
Te vermelden is ook nog het vierdelig vulgarisatiewerk van Lev Landau en Alexandre Kitaïgorodski "La Physique à la portée de tous".
- « Cours élémentaire de Physique » de Grigori Landsberg en 3 tomes:
Tome 1: Mécanique , Chaleur et Physique moléculaire (1985) 591 pages
Tome 2: Electricité et Magnétisme (1987) 440 pages
Tome 3 Vibrations et Ondes, Optique, Physique Atomique et Nucleaire - (1988) 632 pages
- « Cours de Physique Générale » de Dimitri Sivoukhine en 5 volumes
tome 1 Mécanique 552 pages (1982)
tome 2 Thermodynamique et Physique moléculaire 575 pages (1982)
tome 3 Electricité 713 pages (1983)
tome 4 Optique (en deux parties: volume I : 415 pages -1982-volume II 360 pages -1984-)
tome 5 Physique atomique et nucléaire (en deux parties: volume I 447 pages -1986- volume II -410 pages -1986-)
- « Cours de Physique Théorique »:
tome 1: Mécanique L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1969)*
tome 2: Théorie des Champs L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1970)*
tome 3: Mécanique quantique (non relativiste) L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 4A: Théorie quantique relativiste première partie- L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1972)*
tome 4B:Théorie quantique relativiste deuxième partie- E. Lifchitz et L. Pitayeski éditions MIR (1973)*
tome 5 Physique statistique -première partie- L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 6: Mécanique des Fluïdes L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1971)*
tome 7: Théorie de l Elasticité L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 8: Electrodynamique des milieux continus L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1969)*
tome 9: Physique Statistique deuxième partie- E. Lifchitz et L. Pitayevski éditions MIR (1990) -english-
tome 10: Cinétique physique E. Lifchitz et L. Pitayevski éditions MIR (1990) -english-
- « Cours de Thermodynamique »:
Introduction à la Thermodynamique- Physique statistique M. Leontovitch (1986)* 432 pages
Thermodynamique I. Bazarov (1989)* 410 pages
Thermodynamique Chimique M. Karapetiantz (1978)* 642 pages
- « Cours de Technologie Physique »:
Physique des semiconducteurs P. Kireev (1975)* 728 pages
- « La Physique à la portée de tous »
- livre 1 "Corps physiques" Lev Landau et Alexandre Kitaïgorodski
- livre 2 "Molécules" Lev Landau et Alexandre Kitaïgorodski (1982)* 130 pages
De monografieën van Nikolai Glinka (1882-1965) over Algemene Scheikunde zijn hoog aangeschreven en bestaan ook in Engelse versie (University Press of the Pacific). Deze editor schrijft het volgende over de auteur:
This textbook (Problems in General Chemistry -2006-) is intended for students who study chemistry independently or by correspondence. It contains over 850 problems and exercises related to various sections of general chemistry. Each chapter begins with sufficient theoretical detail and sample solutions of typical problems which will assist the student in problem solving and in future practical applications. After graduating from Moscow University in 1908 Nikolai Glinka did research for several years under N. D. Zelinsky. But he preferred teaching to research and took his doctorate in that field.
After twelve years teaching chemistry in Podolsk he was transferred to Moscow in 1924 by the People's Commissariat of Education. In 1940 he was appointed Head of the Chair of Inorganic and General Chemistry at the All-Union Polytechnical Correspondence Institute, a post he held to the end of his life. Prof. Glinka's first textbook Inorganic Chemistry, published in 1930, was reprinted five times. General Chemistry first appeared in 1940 and has had fourteen Russian editions. Another textbook by prof. Glinka, widely used in colleges, is Problems in General Chemistry. It has had nineteen Russian editions and has been translated into several languages.
De boeken van V. Alexeev handelen over de eigenlijke chemische analyse, een discipline die, door de opkomst van de spectroscopische technieken, veel aan belang heeft ingeboet. Een herwerkte, aangevulde editie verscheen echter nog in 1980.
- « Chimie générale » N. Glinka
- Tome 1: 383 pages (1981) - Tome 2: 398 pages (1981)
- « Problèmes et Exercices de Chimie Générale » N. Glinka (1986) 238 pages
- « Cours de Chimie Physique » V. Kireev (1975)*
- « Chimie Moderne » L. Nikolaiev (1974)*
- « Principes de la Chimie Physique des processus biologiques » L. Nikolaiëv (1973)*
- « Chimie Minérale » B. Nekrassov (1969)*
- « Chimie Minérale » M. Petrov, L. Mikhilev et Y. Koukouchine (1984)
- « Chimie Organique » B. Pavlov et A. Terentiev (1975)*
- « Réactions chimiques classées par auteur » K. Vatsouro et G. Mitchchenko (1981)*
- « Analyse qualitative » V. Alexeev (1970)*
- « Analyse quantitative » V. Alexeev (1975)*
2° de collectie Schaum van McGraw-Hill
Deze Amerikaanse boekenreeks werd geïntroduceerd in de jaren vijftig door Daniel Schaum (13) , en wordt tot op de dag van vandaag steeds verder uitgebreid. De titel van elk boek begint met Schaum's Outline of Theory and Problems of.. en elk boek is inderdaad een syllabus (d.i. een samenvatting van een college-) maar waaraan een reeks oefeningen of vraagstukken al of niet met oplossing- zijn toegevoegd.
De collectie kende en kent door deze originele formule een enorm succes, mede door het feit dat ze kwaliteit aan lage prijzen paart. Ook werd er bij de herdrukken rekening gehouden met nieuwe pedagogische inzichten of nieuwe technieken zoals het gebruik van de computer of van een (grafische) rekenmachine. Auteurs, die belangrijke bijdragen hebben geleverd tot de collectie zijn Frank Ayres Jr (14) , Seymour Lipschutz (15) en Murray Spiegel (16) .
Oorspronkelijk bevatte de collectie alleen wis- en natuurkundige onderwerpen op het niveau van het hoger secundair. In de jaren zestig werden hieraan ook onderwerpen van het niveau undergraduate (bachelor) toegevoegd. Nog later kwamen nu ook nieuwe onderwerpen bvb in betrekking tot economie, biowetenschappen (genetica, farmacologie.. ), grammatica en computerwetenschappen aan bod. Een verdere recente ontwikkeling van Schaums Outlines was het op de markt komen van Schaums Easy Outlines, die als condensaten van de overeenstemmende Outlines moeten beschouwd worden. Heden zijn sommige Outlines ook als e-book beschikbaar.
De reeks Outlines wordt voorgesteld wordt als zijnde syllabi, dus als supplement-, en niet als een leer- of studieboek (Textbook). In beginsel kunnen deze Outlines het overeenstemmende leerboek niet vervangen. Nochtans zijn er, althans volgens sommige lezers, toch enkele, die evenzeer als textbook kunnen dienen: ik citeer hier Statistics, Discrete Mathematics en Quantum Mechanics.
Ook in Europa verkreeg deze collectie vanaf de jaren zeventig enige vermaardheid en sommige syllabi werden dan ook in het Frans vertaald. Ze waren dan ook in de meeste wetenschappelijke boekhandels te vinden. De collectie Schaum werd en was van dit ogenblik voor mij een onmisbare partner, zowel bij mijn doctorale studie als bij mijn professionele activiteiten.
Een volledig overzicht van de huidige collectie vindt men op de website:
De blogs "Science & Bioscience" handelen over basiswetenschappen (natuur- en scheikunde inclusief wiskunde), geo- en astrowetenschappenen tenslotte biowetenschappen (plant- en dierkunde inclusief de dynamische aspecten) zoals zij vroeger d.i. meer dan vijftig jaar geleden, in het onderwijs (lager, middelbaar,bachelor en masteronderwijs) voorgeschoteld werden. De URL- adressen van deze blogs zijn de volgende :
Zoals de titel "Science & Bioscience an alternative point of view-" het aangeeft, handelen deze blogs wel degelijk over wetenschap en biowetenschap. Er worden hierbij soms standpunten ingenomen, die enigzins afwijken van de orthodoxe, officiële visie of versie. In tegenstelling met wat de goegemeente meent, zijn vele wetenschappers het veelal niet eens met deze officiële visie. Maar zij moeten zwijgen om den brode.
De bedoeling van deze blogs is nu ook eens deze andere visie aan bod te laten komen. Dit gebeurt dan op basis van eigen bevindingen en levenservaringen. Deze omvatten een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles wordt dan gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap.
Leidraad en achtergrond
De wetenschappelijke materie, die in blog III en blog IV aan de orde komt, sluit natuurlijkerwijze aan bij deze behandeld in blog II (secundair onderwijs). Zij omvat dan ook dezelfde grote themas wiskunde, natuurkunde en scheikunde evenals de bio- geo- en astro- wetenschappen maar dan op universitair vlak (bachelor respectievelijk master niveau). Bij mijn uiteenzetting heb ik dezelfde didactische spiraal als in het universitair onderwijs gevolgd, waardoor het geheel wellicht veel begrijpelijker wordt. Waar nodig heb ik verwezen naar de diverse hand- en studieboeken, die in het universitair onderwijs gebruikt of aangeprezen werden (worden). De bestemming d.i. het doelpubliek (bachelor B1, B2, B3-, master M1, M2-), undergraduate (freshman, sophomore, junior, senior-), graduate, of premier, deuxième, troisième cycle volgens het Franse systeem) van deze handboeken mag hierbij nooit uit het oog verloren worden en is natuurlijk van groot belang. Een gedegen kennis van de onderwijsstructuur van het land, waar het boek voor het eerst verscheen, is hierbij onontbeerlijk en erg belangrijk.
Deze onderwijsstructuur evenals de leerprogrammas van het universitair onderwijs hebben in de loop der jaren een grote wijziging ondergaan, wat de lezer in verwarring kan brengen. Voor wat de onderwijsstructuur betreft is in België (maar ook in 46 andere landen) sinds Bologna de zogenaamde BachelorMaster (BAMA) structuur van kracht, terwijl bvb tot op het einde van de vorige eeuw in België bvb de KandidatuurLicentie (KALI) structuur, in Frankrijk bvb de Licence Maitrise (LIMA) structuur van toepassing was.
In Frankrijk stemde de Licence dus overeen met de Kandidatuur in België en de Maitrise met wat in België de Licentie heette. Ook nu worden de bachelor-jaren (B1, B2, B3) in Frankrijk nog altijd als Licentie-jaren (L1, L2, L3) betiteld. In de Verenigde staten heeft men dan weer de bekende undergraduate/graduate structuur. Ook voor wat de Doctoraat- studie betreft, waren en zijn er tussen de verschillende landen en i.h.b. tussen Europa en de Verenigde Staten grote verschillen. In Europa is de doctorstitel verbonden aan een oorspronkelijk proefschrift. Het volstaat hier even te verwijzen naar een aantal bronnen:
Voor wie niet met voornoemde onderwijsstructuren vertrouwd is, zijn bovenstaande verwijzingen een "must".
Inhoudsopgave
Blog IV ligt natuurlijk in het verlengde van blog III en omvat in de eerste plaats een bespreking van de masterleergangen specifiek voorzien voor de toekomstige apotheker (pharmacognosie, pharmacologie, toxicologie, bromatologie, medische biochemie, pharmaceutische technologie...). Deze masterleergangen sluiten rechtstreeks aan op de algemene bachelorcursussen wiskunde, natuurkunde, scheikunde, plantkunde, dierkunde en geologie. Blog IV bevat echter ook de fundamentele bachelorcursussen wiskunde, natuurkunde, scheikunde en biologie, die noodzakelijk zijn voor een meer grondige studie van deze masterleergangen.
Zoals ieder boek, dat zichzelf respecteert, heeft ook dit blog zijn eigen inhoudstafel, die weergegeven wordt door het archief, dat zich links bovenaan het blog bevindt (linkerkolom). Dit archief omvat de diverse paragrafen of cursiefjes van het blog en wel in dalende chronologische volgorde d.i. het meest recente cursiefje bovenaan. In de tekstkolom van het blog zijn de cursiefjes, zoals bij een leesboek,echter in stijgende chronologische gerangschikt, zodat men dit blog ook kan lezen als een normaal leesboek, door gewoon naar beneden te "scrollen". Onderaan elk cursiefje vindt men een aantal bijlagen, die men kan aanklikken.
Het is ook mogelijk dit blog cursiefje per cursiefje te lezen door het archief te gebruiken. Aanklikken van een paragraaf in het archief plaatst het aangeklikt cursiefje onmiddellijk bovenaan de tekstkolom. Om een anderuitgekozen cursiefje te lezen, zal men dit aanklikken in het archief, waardoor nu dit laatste cursiefje bovenaan de tekstkolom staat. Deze leesmethode komt overeen met het doorbladeren van een leesboek, waarbij men de diverse hoofdstukken of rubrieken in een zelf gekozen orde leest.
Teneinde het de lezer gemakkelijk te maken werd iedere paragraaf door een specifiek volgnummer aangeduid bvb §2.3 wijst op het derde cursiefje van hoofdstuk 2.
Voor dit specifieke blog "Science & Bioscience (IV) "zijn volgende hoofdstukken en cursiefjes gepland:
Hoofdstuk 1 In een stroomversnelling
§1.1 Kennismaking met de campus Solbosch §1.2 Kennismaking met de campus Rhode §1.3 Kennismaking met de campus Sart-Tilman
Hoofdstuk 2 Pharmacognosie
§2.1 Over het ontstaan der Pharmacie §2.2 Pharmacognosie met Trease en Evans (drogenanalyse) §2.2 Materia Medica met Paris en Moyse §2.3 Het college van H. Wachsmuth §2.5 Pharmacognosie met Bruneton
Hoofdstuk 3 Pharmacologie
§3.1 Wat is Pharmacologie? §3.2 Pharmacologie met Heymans en Simonart §3.3 Pharmacologie met Valette §3.4 Het college van Vanden driessche §3.5 Pharmacologie met Schorderet
Hoofdstuk 4 Toxicologie
§4.1 Wat is Toxicologie? §4.2 Gerechtelijke Toxicologie met Kohn-Abrest §4.2 Gerechtelijke Toxicologie met Fabre en Truhaut §4.3 Algemene Toxicologie met Marquardt en Schäfer §4.4 Het college van H. Wachsmuth
Hoofdstuk 5 Bromatologie
§5.1 Wat is Bromatologie §5.2 Bromatologie volgens René Vivario §5.3 Bromatologie volgens Jacotot en Le Parco §5.4 Het college van H. Wachsmuth
Hoofdstuk 6 Medische of Klinische Biochemie
§6.1 Wat is Medische Biochemie? §6.2 Medische Biochemie volgens Polonovski §6.3 Medische Biochemie met Courtois en Perlès §6.4 Het college van H. Wachsmuth (gorter)
Hoofdstuk 7 Galenica ofte Farmaceutische Technologie
§7.1 Wat is Galenica §7.2 Galenica met Lefebure §7.3 Galenica met Denoël en Jaminet §7.4 Het college van R. De Nève
Hoofdstuk 8 Over Boekenreeksen en uitgevers
§8.1 Boekenreeksen van MIR en Schaum §8.2 Boekenreeksen van Dover en Dunod
Hoofdstuk 9 Fundamentele Wiskunde voor bachelors (seniors)
§9.1 Kennismaking met de Fundamentele of Hogere Wiskunde §9.2 Arithmetiek met Fred Schuh §9.3 Hogere Algebra met Fred Schuh (I) §9.4 Het Onmeetbare Getal met Fred Schuh §9.5 Hogere Algebra met Fred Schuh (II) §9.4 Meetkunde met Fred Schuh §9.5 Analyse met Fred Schuh §9.6 Fundamentele of Hogere Wiskunde met Vladimir Smirnov (I) §9.7 Fundamentele of Hogere Wiskunde met Vladimir Smirnov (II) §9.8 Hogere Wiskunde met Murray Spiegel §9.9 Hogere Analyse met Pisnoukov en Pontriaguine §9.10 Hogere Algebra met Alexandre Kurosh §9.11 Een overzicht van de Hogere Wiskunde met Richard Courant
Hoofdstuk 10 Fundamentele Natuurkunde voor bachelors (seniors)
§10.1 Kennismaking met de Fundamentele Natuurkunde (Alonso en Finn) §10.2 Fundamente Natuurkunde met Richard Feynman §10.3 Fundamentele Natuurkunde volgens Berkeley University §10.4 Natuurkunde volgens Sivoukhine §10.5 Op de schouders van Reuzen... §10.6 Celestial Mechanics met Ryabov §10.6 Een globaal overzicht met Bayman en Hamermesh
Hoofdstuk 11 Fundamentele Scheikunde voor bachelors (seniors)
§11.1 Fundamentele Scheikunde met Lev Nikolaëv §11.2 Physische Scheikunde met Mcquarrie §11.3 Anorganische Scheikunde met Wilkinson §11.4 Organische Scheikunde met March §11.6 Physische Scheikunde met Pannetier en Souchay §11.7 Anorganische Scheikunde met Michel en Bénard §11.8 Organische Scheikunde met Normant
Hoofdstuk 12 Fundamentele Biologie voor bachelors (seniors)
§12.1 geschiedenis van de biologie (vignais) §12.2 een physische basis voor de levende materie (ling) §12.3 ontdekking van de DNA-structuur(olby) §12.4 life's other secret met ian stewart §12.5 fundamentele biologie met campbell §12.6 moleculaire biologie met lodish (blog V) §12.7 moleculaire biologie met watson (blog V) §12.8 gènes (blog V) §12.9 Dynamische Biologie??
Blog IV is een verdere en logische voortzetting van blog III en omvat, behalve enkele typisch farmaceutische disciplines, dezelfde grote hoofdstukken Wiskunde, Natuurkunde en Scheikunde. Alleen wordt hier wat meer fundamenteel op deze materie ingegaan. Vandaar de hoofdstukken Fundamentele of Hogere Wiskunde, Fundamentele Natuurkunde en Fundamentele Scheikunde. Voornoemde hoofdstukken zijn wel te onderscheiden van de overeenkomstige hoofdstukken Algemene Wiskunde, Algemene Natuurkunde en Algemene Scheikunde, die in blog III behandeld werden.
