(Hoofdstuk 9 "Fundamentele Wiskunde voor bachelors")
§ 9.1 Kennismaking met Schuh's Getallenleer:
I- Een Inleidende Bemerking: Getallen in een notendop
In het primair en secundair onderwijs worden de scholieren via de zogenaamde algebra (zie cursiefje « Wat is Algebra? » met allerlei soorten getallen geconfronteerd.
Vooreerst zijn er de natuurlijke getallen en het getal nul, de zogenaamde gehele getallen, die dra gevolgd worden door de gebroken getallen of breuken. Deze gehele en gebroken getallen vormen dan samen het stelsel der rekenkundige getallen, waarvan later zal gezegd worden dat ze het stelsel der meetbare getallen vormen.
Vervolgens komen er, vanaf de eerste algebralessen, de zogenaamde relatieve getallen aan de beurt, waarbij de negatieve gehele en gebroken getallen geïntroduceerd worden. In de laatste lessen van het secundair onderwijs worden dan plots, vrijwel uit het niets, de onmeetbare of irrationale getallen en de complexe getallen te voorschijn getoverd. Een complex getal blijkt dan de som te zijn van een reëel getal en een imaginair getal, waaruit volgt dat complexe getallen ook de reële getallen omvatten.
Voorts wordt dan verteld dat de onmeetbare getallen aan de relatieve getallen moeten toegevoegd worden en dat dit nieuwe systeem voortaan het stelsel der reële getallen vormt.
Reële en de complexe getallen vormen de oplossingen of wortels van om het even welke algebraïsche vergelijkingen en worden dan ook de algebraïsche getallen.
En daarmede is de kous niet af, want er bestaan ook nog transcendente getallen zoals het getal π en het getal e.
De gebruikelijke schoolboeken Arithmetiek en Algebra zijn gericht op het eigenlijke rekenen en beogen alleen maar een zekere rekenvaardigheid bij de leerling aan te kweken; het accent wordt hier gelegd op het aanleren en toepassen van de rekenregels zonder meer. In deze boeken zal men geenszins enige verklaring vinden, van hoe men tot deze nieuwe soorten getallen is geraakt en nog minder hoe men tot die speciale rekenregels voor al deze nieuwe getallen is gekomen.
Het is nu de Klassieke Algebra, wiskundegebied door Isaac Newton als Universele Arithmetiek bestempeld, die aanleiding heeft gegeven tot deze achtereenvolgende uitbreidingen of verruimingen van het getalbegrip. De theorie der vergelijkingen van één onbekende leidt inderdaad uitgaande van het natuurlijk of geheel getal achtereenvolgens tot het gebroken getal, tot het negatief getal, tot het onmeetbaar getal en tot het imaginaire getal.
In de Cadettenschool was het nu de Muis die door zijn glasheldere uiteenzettingen over algebra mij op het juiste spoor van het hoe en waarom zette.
1- Een vergelijking als a.x = b waarin a en b natuurlijke of gehele getallen zijn suggereert een uitbreiding van het getalbegrip tot het gebroken getal of breuk.
De oplossing of wortel van deze vergelijking wordt gegeven door x = b /a en is een natuurlijk getal op voorwaarde dat b deelbaar is door a. Wordt nu als oplossing een natuurlijk getal geëist dan zou men kunnen spreken van een diophantische vergelijking (1) . Uiteraard heeft deze diophantische vergelijking, indien b niet deelbaar is door a, geen oplossing.
Laat men echter deze eis vallen en aanvaardt men een nieuw soort getal is die de verhouding van twee gehele getallen voorstelt (d.i. een zogenaamd gebroken getal of breuk -schrijfwijze m / n-), dan is er wel een oplossing. Een dergelijke oplossing is bvb nuttig en aanvaardbaar wanneer maatgetallen aan bod komen (metingen) of bij verdelingsproblemen (verdeling van een stuk grond, van een taart bvb).
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent echter dat men het stelsel der natuurlijke of gehele getallen uitbreidt met de gebroken getallen of breuken. Het aldus ontstane nieuwe stelsel wordt het stelsel der positieve meetbare getallen genoemd. De vraag stelt zich welke de rekenregels zijn voor dit nieuw soort getallen, hoe men de som (m / n + k / p) of product (m /n x k/ p) van dergelijke getallen moet berekenen en i.h.b. hoe deze regels kunnen afgeleid worden. Ze moeten immers ook coherent zijn met de voorgaande regels voor de natuurlijke getallen.
Deze nieuwe rekenregels zijn in het primair onderwijs een ware nachtmerrie voor vele schoolbengels. Tot zij snappen wat eigenlijk met gelijknamigheid bedoeld wordt en hoe gelijknamigheid kan verkregen wordt. Zoals men geen peren bij appelen kan tellen kan men bvb ook geen "vierdes bij "achtes" optellen. Dat kan wel na op gelijke noemer ("naam") brengen... Waarom echter voor het product van breuken de tellers respectievelijk de noemers met elkaar moeten vermenigvuldigd worden was echter niet duidelijk...
2- Vergelijkingen als x + b = c en a.x + b = c waarin a, b, c natuurlijke of gehele getallen zijn suggereren een verruiming van het getalbegrip tot respectievelijk negatief geheel getal en negatief gebroken getal of breuk.
De oplossing is hier x = c b respectievelijk x = (c b) / a en is slechts aanvaardbaar indien c > b (de aftrekking tussen twee natuurlijke of gehele getallen is alleen in dit geval gedefinieerd). Indien c < b dan is b c wel gedefinieerd en men zou de wortels van de vergelijkingen kunnen voorstellen door de tegengestelde getallen (b c) respectievelijk (b c) / a, een negatief geheel getal (d.i. een natuurlijk getal of gebroken getal voorafgegaan door een minteken, toestandsteken genoemd: schrijfwijze: - m , respectievelijk negatief gebroken getal - m / n) . Een dergelijke oplossing is bvb voor bepaalde reële problemen bvb schulddelging wel aanvaardbaar.
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent echter dat men het stelsel der meetbare getallen uitbreidt met de negatieve getallen. Het aldus ontstane stelsel kan dan het stelsel der positieve en negatieve meetbare getallen genoemd worden. Weer stelt zich hier de vraag welke de rekenregels zijn voor dit nieuw soort getallen en i.h.b. hoe deze regels kunnen afgeleid worden.
Wie herinnert zich niet de tekenregels voor optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen? Deze regels werden voor het eerst helder geformuleerd door Rafael Bombelli (2) , de grondlegger van complexe getallen. Scholieren werden in het Hoger Primair of Lager Middelbaar geconfronteerd met wat men in Nederland "sommetjes maken" noemt en velen haakten hierbij af.
Ook hier moet er natuurlijk coherentie zijn met de voorgaande regels voor de positieve meetbare getallen en dat is heel wat minder evident. Negatieve getallen werden derhalve zelfs niet algemeen aanvaard, althans in de 16de eeuw.
3- Vergelijkingen als x² = a en xn = b waarin a en b positieve meetbare getallen zijn (a > 0 en b >0), suggereren een verdere uitbreiding tot de onmeetbare of irrationale getallen.
De oplossingen kunnen hier geschreven worden als een wortelvorm x = √a respectievelijk x = n√b ; stelt men nu de eis dat de oplossing van de vergelijking een meetbaar getal moet zijn dan geldt uiteraard dat √a = m / n en n√a = m /n. Hier kan alleen voldaan worden indien a een volkomen kwadraat (d.i. a = (m / n)²) respectievelijk een volkomen nde macht (d.i. a = (m / n)n ) is van m /n. Voor alle andere getallen a is er geen oplossing.
Meer nog in dit geval kan men aantonen dat noch √a noch n√a uitgedrukt kunnen worden als een positief meetbaar getal en dus stellen deze uitdrukkingen bijgevolg onmeetbare getallen voor (3) .Uit de stelling van Pythagoras blijkt nu dat dergelijke getallen bestaansrecht bezitten: zo wordt bvb de diagonaal van een vierkant met zijde 1 uitgedrukt door het getal √2. Het tegengesteld getal van een onmeetbaar getal is uiteraard een negatief onmeetbaar getal.
Aanvaarden van een dergelijke algemene oplossing betekent derhalve dat men het stelsel van positieve en negatieve de meetbare getallen verruimd met de positieve en negatieve onmeetbare getallen. Het op deze manier ontstane nieuwe stelsel wordt het stelsel der reële getallen genoemd.
Met onmeetbare getallen werd al sinds het begin van de 16de eeuw "gerekend", hoewel velen zich afvroegen of het inderdaad wel getallen waren. Het grote probleem bij de onmeetbare getallen blijkt immers hun preciese relatie met en het in coherentie brengen van de vier hoofdbewerkingen met de meetbare getallen.
Diverse theorieën werden dienaangaande ontwikkeld o.m. door Dedekind, Cauchy en... Daudet, een medewerker van Schuh!! (zie cursiefje « Arithmetiek volgens Schuh (3) »)
Let wel dat indien x een relatief getal voorstelt er voor de vergelijking x² = a (met natuurlijk a > 0) er twee oplossingen zijn x1 = + √a en x2 = - √a immers niet alleen (+ √a)² = a maar ook (- √a)² = a
4- Een vergelijking van het type x2 = -a waarin -a een negatief meetbaar getal is, suggereert een uitbreiding tot de imaginaire getallen.
Theoretisch zou men als wortel evenzeer kunnen stellen dat hier ook geldt x = √-a maar het kwadraat van een negatief getal is steeds een positief getal. Bij definitie werd nu √-a = i. √a waarin a uiteraard een positief getal is en i = √(-1) m.a.w. i² = -1 .
Een dergelijke product noemt men dan een imaginair getal(4) waarvan in eerste benadering alleen de tweede term van het product √a bestaat. Hebben op een dergelijke wijze gedefinieerde getallen bestaansrecht?
De studie van de vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0 leert dat er steeds, zelfs indien er geen reële wortels x1 en x2 bestaan (discriminant D = (b² - 4ac) kleiner dan 0), er wel degelijk een reële som en product van twee imaginaire wortels z1 en z2 bestaat waarvan de som altijd reëel is en gelijk aan b / 2a en het product eveneens reëel is en gelijk aan c /a..
Volgens de klassieke abc-formule worden de wortels van een vierkantsvergelijking gegeven door: x1 = - b / 2a + √D / 2a en x2 = - b /2a - √D / 2a .
Deze imaginaire wortels zijn dan volgens Bombelli te schrijven als: z1 = - b / 2a + i√D / 2a en z2 = - b /2a - i√D / 2a want uit deze uitdrukkingen volgt dat inderdaad z1 + z2 = - b /2a en z1 . z2 = c /a .
Men merkt op dat deze wortels z1 en z2 bestaan uit twee termen: de eerste term is een reëel getal, de tweede term een imaginair getal. Uitdrukkingen van de vorm A + B.i (I) en A B.i (II) worden nu complexe getallen (4) genoemd ; ze bestaan steeds uit een reëel deel A en een imaginair deel B.i . De uitdrukkingen (I) en (II) zijn toegevoegde complexe getallen.
Aanvaarden van een dergelijke oplossing betekent dat men het stelsel van de reële getallen verruimd tot de complexe getallen. Reële getallen zijn dan immers complexe getallen waarvan het tweede lid nul is (B = 0). Het nieuwe stelsel getallen wordt het stelsel van de complexe getallen genoemd en dit stelsel omvat dus ook de reële getallen.
Ook hier zijn er aantal specifieke, voor de niet- ingewijden zeer verrassende rekenregels en die moeten natuurlijk coherent zijn met deze van de rekenregels van de reële getallen. Ofschoon al in de 16de eeuw ontdekt door Bombelli, heeft het tot de 19de eeuw geduurd vooraleer complexe getallen algemeen aanvaard werden.
Als men al de rekenregels van die verschillende soorten getallen overschouwt, heeft dit alles toch veel weg van een trucjes-doos. Alle samenhang bleek zoek te zijn en er was een Schuh nodig om mij op de goede weg te helpen.
Tenslotte nog een woord over de transcendente getallen. Een getal wordt transcendent genoemd wanneer het geen oplossing (wortel) kan zijn van een algebraïsche vergelijking van willekeurige eindige graad (5) .
II- Schuhs Voorbereidend Deel op Integraal- en Differentiaalrekening (partim Getalkunde)
Het was eind 1959, tijdens mijn verblijf op de Gentse Alma Mater, dat ik dit zeer merkwaardig boek bij toeval ontdekte. In het Voorwoord schreef Schuh:
Dit Deel begint met een volledige behandeling van het getalbegrip, steunende op het begrip natuurlijk getal dat ik als uitgangspunt heb genomen zonder dat het aan een dieper gaande analyse te onderwerpen. Uit de zonder bewijs vooropgestelde grondeigenschappen der natuurlijke getallen worden hun overige eigenschappen afgeleid, ook die betreffende deelbaarheid en ontbinding in priemfactoren. Achtereenvolgens worden aan het getallenstelsel toegevoegd de positieve gebroken getallen, daarna nul met de positieve meetbare getallen (volgens Baudet), vervolgens de negatieve getallen en ten slotte de imaginaire getallen. Van de verschillende manieren, waarop het getallenstelsel kan worden uitgebreid, heb ik slechts die besproken, welke mij uit wetenschappelijk oogpunt de beste lijkt
Ook in zijn tweedelig « Nieuw Leerboek der Hogere Algebra » (1943), boek dat ik mij eerst maar in 1968 zal aankopen (zie cursiefje « Algebra volgens Schuh »), verwees Schuh naar dit Voorbereidend Deel op Differentiaal- en Integraalrekening:
Wie zich over het reële getal, en ook voor over de deelbaarheidseigenschappen van natuurlijke getallen, volledig wil oriënteren, raadplege het Eerste deel (Voorbereiding) van mijn Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening, waarin het getalbegrip ontwikkeld wordt uitgaande van het natuurlijk getal
Daar ik gefascineerd was door Getallen, behoorde dit Voorbereidend Deel in 1959 al zeer snel tot mijn lievelingsliteratuur. De vele aantekeningen, die ik in het boek gemaakt heb, tonen dit duidelijk aan. Ik had mij zelfs, de Snor indachtig, een formuleboekje aangelegd, waarin de formules en de voornaamste stellingen, die in het boek voorkwamen, genoteerd werden .
Ziehier nu de gedetailleerde inhoud van het gedeelte Getalkunde, dat in het boek amper 85 paginas beslaat:
A- De Natuurlijke Getallen
Hoofdstuk 1 Het werken met natuurlijke getallen:
1- Grondeigenschappen: §1 natuurlijke getallen als middel om te tellen §2 grondeigenschappen der natuurlijke getallen
2- Afgeleide eigenschappen: §3 het begrip afgeleide eigenschap §4 afgeleide eigenschap der volgorde §5 ondubbelzinnigheid der aftrekking §6 verdere afgeleide eigenschappen der aftrekking §7 afgeleide eigenschappen der volgorde in verband met aftrekking
3- Volledige inductie: §8 bewijs door volledige inductie §9 wijziging der volledige inductie §10 andere wijziging der volledige inductie
Hoofdstuk 2 Deelbaarheid van natuurlijke getallen:
1- Deelbaarheid: §11 definitie van deelbaarheid §12 eigenschappen der deelbaarheid §13 verdere eigenschappen der deelbaarheid §14 niet- opgaande deling
2- Gemene delers: §15 gemene delers van twee natuurlijke getallen §16 algorithmus van Euclides ter bepaling van de gemene delers 17 G.G.D. §18 kenmerk voor G.G.D. §19 hoofdstelling der deelbaarheid §20 K.G.V.
3- Priemgetallen: §21 priemgetallen en deelbare getallen §22 deelbaarheid van een product door een priemgetal §23 ontbinding van een natuurlijk getal in priemfactoren §24 fundamentaalstelling van de rekenkunde
4- Machtsverheffing: §25 machtsverheffing en eigenschappen daarvan §26 toepassing van machtsverheffing op ontbinding in priemfactoren §27 zuivere nde macht §28 onderzoek of een natuurlijk getal priem is
B- De Positieve Meetbare Getallen
Hoofdstuk 3 Invoering der positieve meetbare getallen:
1- Positief meetbaar getal: §29 gelijkheid van getallenparen §30 klasse van getallenparen §31 het begrip positief meetbaar getal §32 natuurlijke getallen als bijzondere gevallen
2- Optellen en vermenigvuldigen: §33 optelling van positieve meetbare getallen §34 ondubbelzinnigheid der aftrekking §35 bewijzen van de overige grondeigenschappen der optelling §36 vermenigvuldiging van positieve meetbare getallen §37 bewijzen der grondeigenschappen
3- Volgorde der positieve meetbare getallen: §38 groter en kleiner bij positieve meetbare getallen §39 bewijs van de grondeigenschap der volgorde §40 aftrekking van positief meetbare getallen §41 afgeleide eigenschappen voor positief meetbare getallen
Hoofdstuk 4 Deling van positieve meetbare getallen:
1- Mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling: §42 grondeigenschap der deling § 43 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling van positief meetbare getallen §44 verband tussen quotiënt en reciproke waarde §45 eigenschap betreffende reciproke waarde
2- Afgeleide eigenschappen der deling: §46 verdere afgeleide eigenschappen §47 afgeleide eigenschappen der volgorde in verband met de deling §48 het tussenschuiven van positief meetbare getallen §49 positief meetbaar getal als quotiënt van twee natuurlijke getallen
3- Breuken: §50 eigenlijke en oneigenlijke breuken §51 onvereenvoudigbare breuk §52 zuivere nde macht van een breuk
4- Nog iets over de volgorde: §53 nog een grondeigenschap der volgorde §54 eigenschap van Archimedes
C- De Niet- Negatieve reële Getallen
Hoofdstuk 5 De niet-negatieve reële getallen volgens Baudet:
1- Niet- negatief reëel getal: §55 opmerking vooraf §56 het begrip getalverzameling §57 majoranten van een getalverzameling §58 klasse van gelijke getalverzamelingen §59 positief meetbare getallen als bijzondere gevallen
2- Nul en de positieve onmeetbare getallen: §60 het getal nul §61 de positieve onmeetbare getallen §62 voorbeeld van een positief onmeetbaar getal
3- Volgorde der niet- negatieve reële getallen: §63 groter en kleiner bij niet-negatieve reële getallen §64 aansluiting aan groter en kleiner bij positieve meetbare getallen §65 eigenschap van een majorant §66 de begrippen positief en negatief §67 bewijs der grondeigenschap der volgorde
4- Onderste grens: §68 onderste grens van een getallenverzameling §69 stelling van de onderste grens §70 bewijs der stelling van de onderste grens
Hoofdstuk 6 Optellen en vermenigvuldigen van niet-negatieve reële getallen:
1- Majoranten: §71 onafhankelijkheid der beschouwingen van de definitie van een niet- negatief reëel getal §72 majorant van een niet- negatief reëel getal §73 onderste grens der majoranten
2- Optelling: §74 som van twee niet-negatieve reële getallen §75 aansluiting aan de som van twee positieve meetbare getallen §76 eigenschap van de som van twee niet-negatieve reële getallen §77 bewijzen van de overige grondeigenschappen der optelling §78 moduluseigenschap der optelling
3- Vermenigvuldiging: §79 product van twee niet-negatieve reële getallen §80 eigenschap van het product van twee niet-negatieve reële getallen §81 bewijzen van de overige grondeigenschappen der vermenigvuldiging §82 bewijs van de grondeigenschap der vermenigvuldiging en optelling
4- Insluiten tussen meetbare getallen: §83 insluiting van een positief reëel getal tussen twee positieve meetbare getallen §84 wijziging der insluiting
5- Overige grondeigenschappen der volgorde: §85 bewijs van de grondeigenschap der volgorde in verband met optellen §86 grondeigenschap der volgorde in verband met vermenigvuldigen
Hoofdstuk 7 Verdere eigenschappen van niet-negatieve reële getallen:
1- Aftrekking: §87 bewijs van de grondeigenschap der aftrekking §88 enige afgeleide eigenschappen der volgorde §89 stelling omtrent de mogelijkheid der aftrekking §90 gevolgen van de mogelijkheid der aftrekking §91 ondubbelzinnigheid der aftrekking
2- Deling: §92 bewijs van de grondeigenschap der deling §93 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling §94 ontoelaatbaarheid der deling door nul §95 geval dat een product nul is
3- Rol van het getal nul: §96 som van nul termen en product van nul factoren §97 macht met exponent nul §98 sommen en producten genoteerd met Σ en Π §99 toepassing op ontbinding in priemfactoren
D- De Reële Getallen
Hoofdstuk 8 Invoering der reële getallen:
1- Reëel getal: §100 grondeigenschappen van de reële getallen §101 nieuw soort getallenparen §102 reëel getal §103 niet-negatieve reële getallen als bijzondere gevallen
2- Optellen en vermenigvuldigen: §104 optelling van reële getallen §105 vermenigvuldiging van reële getallen §106 bewijzen der grondeigenschappen van optelling en vermenigvuldiging
3- Volgorde der reële getallen: §107 groter en kleiner bij reële getallen §108 bewijzen van twee andere grondeigenschappen der volgorde §109 positieve en negatieve reële getallen
4- Aftrekken en delen: §110 bewijzen van de grondeigenschappen der aftrekking en der deling §111 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der aftrekking van reële getallen §112 verband tussen verschil en tegengestelde §113 getallenpaar als verschil §114 andere betekenis van tegengestelde
5- Verdere afgeleide eigenschappen: §115 het rekenen met verschillen §116 enige afgeleide eigenschappen der volgorde §117 mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der deling §118 de benamingen der getallen
Hoofdstuk 9 Enige stellingen over reële getallen:
1- Onderste en bovenste grens: §119 stelling van de onderste grens voor de reële getallen §120 bewijs van de stelling van de onderste grens voor de reële getallen §121 stelling van de bovenste grens §122 bewijs der stelling van de bovenste grens §123 uitbreiding van de begrippen onderste en bovenste grens §124 stellingen betreffende onderste en bovenste grens
2- Stellingen betreffende tussen: §125 insluiting van een reëel getal tussen meetbare grenzen §126 meetbare getallen tussen twee reële getallen §127 onmeetbare getallen tussen twee reële getallen
3- Nog enige stellingen: §128 absolute waarde van een reëel getal §129 toepassing der negatieve getallen op de rest der deling
Hoofdstuk 10 Verdere stellingen over reële getallen:
1- Enige formules: §130 merkwaardig quotiënt §131 negatieve gehele exponenten §132 formule voor een macht van een polynoom
2- Enige ongelijkheden: §133 ongelijkheid betreffende een macht §134 uitbreiding der stelling tot gehele exponenten §135 andere ongelijkheden betreffende een macht §136 nog een ongelijkheid betreffende een macht
3- Het bestaan van de nde wortel: §137 het bestaan van nde machten tussen twee grenzen §138 gevolg van deze stelling §139 ondubbelzinnigheid van de nde wortel §140 bewijs van het bestaan van de nde wortel
E- De Complexe Getallen
Hoofdstuk 11 Invoering der complexe getallen:
1- Het rekenen met complexe getallen: §141 nog een ander soort getallenparen §142 optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen §143 bewijzen van de grondeigenschappen der optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen §144 aftrekking van complexe getallen §145 deling van complexe getallen §146 kanonische vorm van een complex getal
2- Toegevoegd complexe getallen: §147 definitie van toegevoegd complex getal §148 enige stellingen over toegevoegd complexe getallen §149 toepassing van toegevoegd complexe getallen op deling
Hoofdstuk 12 Verdere beschouwingen over complexe getallen:
1- Stellingen over de modulus: §150 modulus van een complex getal §151 modulus van een product en van een quotiënt §152 modulus van een som van complexe getallen
2- Meetkundige voorstelling: §153 meetkundige voorstelling der complexe getallen §154 meetkundige voorstelling van optelling en aftrekking van complexe getallen
3- Het ontbreken der volgorde: §155 het niet bestaan van groter en kleiner bij complexe getallen *§156 de onmogelijkheid van uitbreiding van het stelsel der reële getallen met behoud van de volgorde
Wat ik nu zeer merkwaardig vond in dit Voorbereidend Deel dat er nergens meetkundige hulpmiddelen werden gebruikt voor het bewijzen van stellingen. Zo was er hier geen sprake van de getallen- rechte, die in mijn humaniora dienst had gedaan voor de afleiding van de rekenregels voor de relatieve getallen. Schuh sprak zich dienaangaande als volgt uit:
Al heb ik voor het bewijzen van analytische stellingen geen meetkundige hulpmiddelen gebruikt, toch heb ik achteraf, waar het mij wenselijk voorkwam, meetkundige beschouwingen toegevoegd, door figuren verduidelijkt. Wat dit Eerste Deel betreft, noem ik de meetkundige voorstelling der complexe getallen, de grafieken der besproken functies en de meetkundige betekenis van cosinus en sinus. De rol die de figuur daarbij in hoofdzaak speelt, kan kort worden aangegeven door de woorden doen onthouden en doen vinden, een rol dus, die geenszins onbelangrijk te achten is, al ligt deze buiten het bewijzen. De figuur kan dus dienen om het geheugen te steunen, waarbij ik wijs op de grafieken van functies, en verder als heuristisch middel, dus om een stelling of een bewijs op het spoor te komen; in dit geval kan ik noemen de meetkundige voorstelling der optelling en aftrekking van complexe getallen .
Complexe getallen kunnen immers aanschouwelijk worden voorgesteld, door ze af te beelden als punten van een plat vlak bepaald door een rechthoekig assenkruis (xOy). Zij het complexe getal z = x + yi (x en y reëel). Op de x-as wordt het reële deel x van het complexe getal, op de y-as het imaginaire deel y afgemeten. Het punt (x,y) wordt het beeldpunt van het complexe getal z genoemd en het vlak het complexe vlak van Gauss.
Maar als men getallen als meetkundige punten beschouwd komt men al snel op het idee van een getallen- ruimte: als reële getallen op een getallenrechte liggen en complexe getallen in een getallenvlak, welk soort getallen liggen er dan in een getallenruimte?? En inderdaad en dergelijke uitbreiding van het complexe getal, de zogenaamde quaternionen (6) werd door William Hamilton (7) al in 1843 voorzien .
3 Nabeschouwingen:
Schuhs Getalkunde of Getallenleer is ontwikkeld uit de Klassieke Hogere Algebra en behoort derhalve tot de Klassieke Wiskunde. Een dergelijke benadering is ook voor niet-wiskundigen gemakkelijk te volgen en er is geen voorafgaande kennis van Moderne Xiskunde (axiomas van Peano enz. ) nodig om deze Getallenleer te begrijpen, wat met de huidige monografieën zoals bvb Frans Keunes « Getallen, van natuurlijk naar imaginair » (Epsilon, -2009-) wel degelijk het geval is.
Laatstgenoemd boek is echter, zoals in het Voorwoord vermeld, in de eerste plaats bestemd voor toekomstige wiskundigen en is begonnen als een dictaat bij het college Getallen aan de Radboud Universiteit Nijmegen.
Jarenlang heb ik mij afgevraagd welk referentiewerk aan de basis gelegen had van Schuhs meesterlijke samenvatting van de Getalkunde. Tot ik in zijn « Leerboek der Elementaire Theoretische Rekenkunde » (zie volgend cursiefje) op de naam Hermann Hankel viel. Naar mijn mening is het Hermann Hankel s « Vorlesungen uber die complexen Zahlen und ihre Functionen » Theil I Theorie der complexen Zahlensysteme (1867), die als basis van Schuhs samenvatting gediend heeft.
Deze basisreferentie is grotendeels via Internet te raadplegen (8) . Ook de quaternionen van Hamilton worden in dit werk vermeld en op analoge wijze ontwikkeld!
In de bijlagen van dit cursiefje vindt men een foto van Hermann Hankel , vermoedelijk een leermeester van Fred Schuh.
Interessante Diophantische vergelijkingen hebben natuurlijk betrekking op vergelijkingen met meerdere onbekenden bvb a.x + b.y = c. of x² + y² = z² of nog xn + yn = zn
(Hoofdstuk 8 "Over Boekencollecties en Uitgevers")
§ 8.2 Dover en Dunod
1° De collectie Dover
Zoals de collectie Que sais-je? werd Dover Publications in 1941 opgericht door Hayward Cirker (1918-2000) (1) . Deze Amerikaanse uitgeverij is gekend voor het uitgeven van herdrukken van literaire klassiekers en van partituren van klassieke muziek. Ze verzorgt echter ook de herdruk van wetenschappelijke teksten, die tot het publiek domein behoren, of waarvan de oorspronkelijke uitgever afstand heeft gedaan van zijn publicatierecht. Dit verklaart waarom Dover-boeken erg goedkoop zijn.
De eerste publicatie van Dover was aldus « Tables of Functions with Formulas and Curves » van Eugene Jahnke en dateert van 1943. De heruitgave van dit boek was een groot commercieel succes want in 1945 was er al een 4de herdruk nodig.
In 1951 ging de uitgeverij over tot het erg handige en duurzame «trade paperback format», een soort pocket formaat. Vanaf 1983 publiceerde Dover ongeveer 170 nieuwe titels per jaar en in 2000 omvatte de cataloog ongeveer 7000 titels, waarvan een 300 wetenschappelijke werken (2) . Vele van die titels zijn uitgeput en in herdruk,die jaren kan aanslepen...
Mijn eerste Dover- boek was Theoretical Mechanics an introduction to mathematical physics- van Joseph Sweetman Ames and Francis Murnaghan (zie ikoon van dit cursiefje). Ik kocht dit boek enigszins uit frustratie: er was die onbegrijpelijke en onbegrijpbare cursus van Moens, nietwaar (zie cursiefje Algemene Natuurkunde voor bachelors). Maar ook en vooral omwille van het eerste, 75 paginas tellende, hoofdstuk getiteld Vectoranalysis.
Vectoriële analyse was immers een materie, die mij al in 1959 sterk interesseerde en waarvan ik begon in te zien dat ze van doorslaggevend belang was voor het doorgronden en begrijpen van de veldtheorie(gravitatie en electromagnetisme).
In snel tempo volgden dan Ordinary Differential Equations van Ince, Partial Differential Equations for Mathematical Physics van Webster, en Maxwells Treatise in Electricity and Magnetism (2 volumes). Van vele hoofdstukken begreep ik in het begin geen iota, maar dat veranderde met de jaren. Een must voor mij, een Grieks-Latinist, was natuurlijk ook het drie volumes tellende Euclid, the Thirteen books of the Elements van Sir Thomas Heath. Daarbij kwamen vele jaren later de geschriften van Archimedes, van Apollonius, van Aristarchos van Samos..
Het was ook in die heroïsche periode dat ik mij buiten de Dover- reeks Theory of Equations van J. V. Uspensky (McGraw-Hill, -1948) en Introduction to Quantum Mechanics van Linus Pauling en Bright Wilson (Mc Graw-Hill, -1935-) aankocht, monografieën, die mij veel bijgebracht hebben en die ik beschouwde als evenzeer deel uitmakend van mijn Dover- collectie.
In de jaren zestig verkregen bvb Theoretical Mechanics van Bradbury (1969) en Introduction to Modern Electromagnetics van Durney en Johnnson (1968), allebei van McGraw-Hill International Student Edition , ook een vast plaatsje in mijn bibliotheek.
Met de jaren bouwde ik aldus mijn collectie meer en meer uit bvb door de aankoop van monografieën, die handelden over de geschiedenis van de wiskunde (A History of Greek Mathematics van Thomas Heath) of over de moderne scheikunde (General Chemistry van Linus Pauling; A path to the double helix the discovery of DNA").
Dover was voor mij ook soms een terugkeer naar het verleden:boeken, die ik alleen in een of andere universitaire bibliotheek had kunnen raadplegen, kon ik enkele jaren later tegen een spotprijs verwerven.
Van uitzonderlijk groot belang waren aldus voor mij bvbde boeken van Robert Weinstock « Calculus of Variations with applications to Physics and Engineering » en van Cornelius Lanczos «The variational Principles of Mechanics ». Het eerste boek leerde mij datin werkelijkheideenvoudige variationele beginselende Natuur beheersen en deware Natuurwetten vormen; het tweede liet mij toede fameuze ezelsbrug naar de zogenaamde "Analytische Mechanica" te nemen.
Voor het eerst drong het tot mij door dat variationele beginselen wellicht niet alleen de «dode» materie, maar ook de «levende» materie regelen en beheersen Een totaal vergeten boek als On Growth and Form van DArcy Wenworth Thompson was een mooie illustratie van deze stelling.
- monografieën i.b.t. wiskunde:
- « Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra and Analysis » F. Klein (2004,-1932-)
- « Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry » F. Klein (2004, -1939-)
- « Elementary Number Theorysecond edition- » U. Dudley (2008, -1978-)
- « Number Theory » G. Andrews (1994, -1971-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 1: Books I and II » second edition T. Heath (1956, -1925-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 2: Books III to IX » second edition T. Heath (1956, -1925-)
- « Euclid, The thirteen Books of the elements vol 3: Books X to XIII » econd edition (1956, 1925-)
- « The Works of Archimedes -edited in modern notation with introductory chapters- » T. Heath (Adamant -2005-, -1897-)
- « Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections -edited in modern notation- » T. Heath (Bibliolife -1896-) buiten reeks
- « Mathematics for the Nonmathematician » M. Kline (1985, -1967-)
- « What is Mathematics? second edition- » Richard Courant and Herbert Robbins revised by Ian Stewart (Oxford University Press -1994-, 1941-) buiten reeks
- « A long way from Euclid » C. Reid (1991, -1963-)
- « Information Theory » R.B. Ash (1965)
- « Famous Problems in Geometry and How to solve them » B. Bold (1982, -1969-)
- « Fundamental Concepts in Geometry » B. Meserve (1983, -1959-)
- « Geometry, a comprehensive course » D. Pedoe (1988, -1970-)
- « Introduction to Topologythird edition- » B. Mendelson (1990, -1962-)
- « A history of Greek Mathematicsvolume I: from Thales to Euclid- » T. Heath (1981, -1921-)
- « A History of Greek Mathematics -volume II: from Aristarchus to Diophantus- » T. Heath (1981, -1921-)
- « The History of Calculus and is Conceptual Development » C. Boyer (1959, -1949-)
- « The History of Analytical Geometry » C. Boyer (2004, -1956-)
- « A History of Mathematics -second edition- » Carl Boyer (Wiley -1991, -1968-)
- « The Geometrical Foundation of Natural Structure a source book of design- » (1979, -1972-)
- « Lectures on Classical Differential Geometry -second edition- » D. Struik (1994,-1961-)
- « Differential Geometry » E. Kreyszig (1991, -1963-)
- « Mathematics of Classical and Quantum Physics » F. Byron and R. Fuller (1992, -1970-)
- « Concepts of Modern Mathematics » I. Stewart (1995, -1975-) buiten reeks
- « Introduction to Analysis » M. Rosenlicht (1986, -1968-)
- « Essential Calculus with Applications » Richard Silverman (1989, -1977-)
- « Modern Calculus and Analytical Geometry » Richard Silverman (1969, -2002-)
- « Calculus: an intuitive and physical approach » Morris Kline (1967, -1998-)
- «Theoretical Mechanics of Paricles and Continua » L. Fetter and J. Walecka (2003)
- « Nonlinear Mechanics a supplement to Theoretical Mechanics of Paricles and Continua- » L. Fetter and J. Walecka (2006)
- « Concepts of Mass in Classical and Modern Physics » M. Jammer (1997, -1961-)
- « Concepts of Force » H. Jammer (1957)
- « Concepts of Space the history of theories of spaces in physics- » H. Jammer(1969, -1954-)
- « A Treatise in Electricity and Magnetism vol 1:Electrostatics and Magnetism » J. C. Maxwell (1952, -1891-)
- « A Treatise in Electricity and Magnetism vol 2: Electromagnetics » J. C. Maxwell (1952, -1891-)
- « Introduction to Modern Electromagnetics » Carl Durney and Curtis Johnnson (Mc Graw-Hill International Student Edition -1969-) buiten reeks
- « The Mathematical Basis of Electrical and Optical Wave Motion » (1955)
- « An Introduction to Relativistic Quantum Theory » H. Bethe and S. Schweber (2009)
- « Theoretical Nuclear Physics » J. Blatt and V. Weiskopf (1979 -1952-)
- « Quantum Theory » David Bohm (2003)
- « Quantum Theory of Many-Particle Systems » L. Fetter and J. Walecka (2003, -1971-)
- « Atomic Physics » M. Born (1969)
- « Radiative Transfer » S. Chandrasekhar (1960)
- « The Thermodynamics of Electrical Phenomena in Metals » P. W. Bridgman (1961, -1934-)
- « Burnhams Celestial Handbookvol. I, II and III » R. Burnham (1978, -1966-)
- « Aristarchus of Samos: the ancient Copernicus » T. Heath (2009, 1981, -1913)
- « An elementary survey of Celestial Mechanics » Y. Ryabov (2006, -1961-)
- « An introduction to Celestial Mechanicssecond revised edition- » F. Moulton (1970, -1914-)
- « A Textbook on Spherical Astronomysixth edition revised by R.M. Green- » W. Smart (1990, -1970-)
- « Hydrodynamics » H. Dryden, F. Murnaghan and H. Bateman (1956)
- « Fluid Mechanics » R. Granger (1995)
- « Photometry » J. Walsh (1958)
- « Introduction to Modern Optics » G. Fowles (1989)
- « Fundamentals of Quantum Optics » J. Klauder and E. Sudarskan (2006)
- monografieën i.b.t scheikunde en biologie:
- « On Growth and Form » DArcy Wenworth Thompson (2009, -1912-)
- « A path to the double helix the discovery of DNA- » R. Olby (1994, -1974-)
- « General Chemistry » L. Pauling (1988, -1969-)
- « An introduction to Quantum Mechanics » L. Pauling and E. B. Wilson (McGraw-Hill, -1938-) buiten reeks
- « Modern Quantum Chemistry introduction to advanced electronic structure theory- » A. Szabo and N. Ostlund (1996,-1972-)
- « Group Theory and Chemistry » D. Bishop (1993, -1973-)
- « Symmetry and Spectroscopyan introduction to vibrational and electronic spectroscopy- » D. Harris and M. Bertolucci (1989)
- « Atomic Spectra and Atomic Structure » G. Herzberg (1944)
- « Crystal Chemistry and Refractivity » G. Jaffé (1996, -1988-)
2° De collectie Dunod
Dunod (3) is een uitgeverij gespecialiseerd in technische en wetenschappelijke werken voor professioneel of educatief gebruik. Een wetenschappelijke boekhandel Dunod bestond al in de 19de eeuw en was gevestigd aan de quai des Augustins; vandaag is de zetel van de uitgeverij gevestigd in de rue de Laromiguière te Parijs. De uitgeverij brengt naast de eigenlijke Dunod reeks ook nog de collectie Edisciences uit. Naast werk van Franse auteurs, bracht deze uitgeverij ook veel vertalingen van Angelsaksische auteurs (waaronder bvb de fameuze Feynmans Lectures en de Berkeley Courses ) op de markt. Enkele monografieën zoals bvb Treadwell waren beslissend voor mijn wetenschappelijke loopbaan.
Voor wat betreft de Technische Natuurkunde is vooral de reeks van José-Philippe Pérez, hoogleraar aan de Universiteit Paul Sabatier te Toulouse, aan te bevelen. Deze reeks is specifiek bestemd voor bachelors die zich voorbereiden op het eindexamen C.A.P. (Certificat d'Aptitude Professionelle). Daarentegen zijn de "Cours de Physique de Berkeley" of de "Cours de Physique de Feynman" meer geschikt voor bachelors, die een master beogen.
- monografieën i.v.m. wiskunde:
- « Et Dieu créa les Nombresles plus grands textes de mathématiques réunis et commentés- » (Stephen Hawking -2006-)
- « Analyse de Fourier et Applicationsfiltrage, calcul numérique et ondelettes- » (C. Gasquet et P. Witomski -2000-)
- « Mathématiques appliquées aux Sciences de la Vie et de la Planète » (M. Ghil et J. Roux -2010-)
- « Cours de Topologie » (G. Choquet -2000-)
- monografieën i.v.m. natuurkunde:
- « Sur les Epaules des Géants » (Stephen Hawking -2003-)
- « Introduction à la Mécanique quantique » (J. Hladik et M. Chrysos -2000-)
- « Introduction à la Relativité restreinte » (J. Hladik et M. Chrysos -2001-)
- « La Théorie de la Relativité restreinte et Générale » (A. Einstein -1923-, -2004-)
- « Albert Einstein, la Vie et luvre » (A. Pais -2005-)
- « Le Calcul Tensoriel en Physique » (J. Hladik et P.E. Hladik -1999-)
- « Cours de Physique Berkeley -volume 1: Mécanique- » (C. Kittel, et al. -2001-)
- « Cours de Physique Berkeley volume 2: Electricité et Magnétisme- » (E. Purcell -1998-)
- « Cours de Physique Berkeleyvolume 3: Ondes- » (F. Crawford -1999-)
- « Cours de Physique Berkeley volume 4: Physique quantique- » (E. Wichmann éd. A. Colin -1974-)
- « Cours de Physique Berkeley -volume 5: Physique statistique- » (F. Reif -2000-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique I- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique II- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Electromagnétisme I- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Electromagnétisme II- » (-1963-, -1999-)
- « Le Cours de Physique de Feynman Mécanique quantique- » (-1965-, -2000-)
- « Fondements et Applications: Mécanique » (J.P. Perez -2000-)
- « Fondements et Applications: Relativité » (J.P. Pérez -1999-)
- « Fondements et Applications: Electromagnétisme » (J.P. Pérez -2002-)
- « Fondements et Applications Optique » (J.P. Pérez -2000-)
- « Fondements et Applications: Thermodynamique » (J.P. Pérez -2001-)
- « Fondements et Applications: Electronique » (J.P. Perez et al. -2006-)
- « Physique de lEtat solidecours et problèmes- 7ème édition - » (C. Kittel -2005-)
- « Quantique: Rudiments » (J.-M. Lévy-Leblond et F. Balibar -2006-)
- « La Spectroscopie hertzienne appliquée à la Chimieabsorption dipolaire, rotation moléculaire, résonances magnétiques- » (R. Freymann et M. Soutif -1960-)
- monografieën i.v.m. scheikunde:
- « LADN, de la Cellule aux Manipulations in vitro » (J. Bouvier et F. Bras-Herring -1984-)
- « Chimie Générale Théorique » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1961-)
- « Chimie Générale Minérale » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1961-)
- « Chimie Générale Organique » (A. Bruylants, J. Jungers et J. Verhulst -1962-)
- « Usuel de Chimie Générale et Minérale » (M. Bernard et F. Busnot -1984-)
- « Chimie Quantique » (A. Julg -1967-)
- « Dynamique chimique » (G. Nicolis -2005-)
- « La Pratique de la Micro-analyse Quantitative » (A. Friedrich -1939-)
- « Technologie et Analyse des Principales Marchandises: préparation des substances inorganiques » (L. Lévy -1930-)
- « Manuel Pratique dAnalyse Organique analyse des principales fonctions de carbone - » (F. Weston -1932-)
- « Manuel de Chimie Analytiquetome II Analyse Quantitative- » (F.P. Treadwell -1943-)
- « Manuel de Chimie Analytique tome I Analyse Qualitative- » (F.P. Treadwell -1947-)
- « La Chromatographie sur couche mince » (G. Vernin -1970-)
- « Précis de Géologie » tome I «Pétrologie» tome II «Paléontologie» tome III «Tectonique» (Aubouin J., Brousse R. et Lehman J.-P. -1967-)
- monografieën i.v.m. biowetenschappen:
- « Biochimie végétale » (Jean Louis Guignard -2000-)
- « La Botanique de A à Z » (A. Marouf et J. Reynaud -2007-)
(Hoofdstuk 8 "Over Boekencollecties en uitgevers")
§ 8.1 MIR en Schaum Outlines
In de vorige eeuw -en voornamelijk vanaf de jaren zestig (de Golden Sixties )- bestonden er een drietal uitgeverijen, die tegen een zeer billijke prijs wetenschappelijke boeken op de markt brachten en die dan ook door de studentengemeenschap intensief werden gekocht.
Zeer bekend in de wetenschappelijke middens waren aldus de collecties MIR, Schaum en Dover. Een aparte en speciale plaats werd (en wordt nog altijd) ingenomen door de op examens gerichte collectie Schaum, waarover ik het verder uitvoerig zal hebben. Hoeveel studenten er geraakt zijn dank zij Schaum is moeilijk te schatten...
Het zijn nu deze boekencollecties, die een zeer belangrijke rol gespeeld hebben tijdens mijn "doctorale" periode aan de V.U.B. Dank zij deze boeken, die handelen over wis-, natuur- en scheikunde, heb ik mijn kennis in betreffende disciplines wat kunnen bijschaven. 1° de collectie MIR:
De uitgeverij MIR werd in 1946 opgericht (1) onder Joseph Stalin en in 1964 hervormd door Alekseï Kosygin. In 2008 werd de maatschappij door een failliet bedreigd, maar de uitgeverij slaagde er toch in te overleven. Deze uitgeverij had tot doel goedkope, wetenschappelijke literatuur van hoog tot zeer hoog niveau op de markt te brengen en deed hiervoor beroep op bekende Russische namen. Om een zo breed mogelijk publiek te bereiken werden ook om propagandistische redenen- de monografieën vertaald in het Frans, Spaans, Portugees,.. en later zelfs in het Engels (boeken bestemd voor Indië). Het loont de moeite even rond te neuzen op de huidige website (2) om zich een idee te vormen van het belang van deze uitgeversmaatschappij.
De oorspronkelijke staatsuitgeverij was gevestigd in een imposant gebouw (zie ikoon) in de Rigastraat in Moskou. Door de staatstussenkomst waren deze boeken uiteraard erg goedkoop en ze vonden dan ook snel ingang in de Westerse studentenwereld, maar natuurlijk niet in de USA.
De monografieën hadden betrekking op wis-, natuur- en scheikunde en velen waren beschikbaar in het Russisch, Frans (3) , Portugees, Spaans... Later werden er zelfs enkele in het Engels vertaald en o.m. door Pergamon Press en MIT Press op de markt gebracht, wat de wetenschappelijke waarde van deze collectie duidelijk aantoont.
Het was mijn groeiende interesse in de biofysica, die mij op het spoor van deze collectie bracht. De meest belangrijke monografieën waren beschikbaar in de boekenwinkel van de ULB, die gelegen was op de hoek van de Adolphe Buyllaan en Paul Hégerlaan. Zo hebben de meeste (aangeduid met een *) dan ook een plaatsje in mijn bibliotheek verworven.
- monografieën handelend over Wiskunde:
De meest belangrijke werken waren hier Cours des Mathématiquean des supérieures van Vladimir Smirnov (4) en Géométrie contemporaine: méthodes et applications van B. Doubrovine, S. Novikov (5) en A. Fomenko. Van dit laatste werk werd in 1992 een Engelse versie met als titel « Modern Geometry - Methods and Applications » door Springer op de markt gebracht. Het boek wordt beschouwd als DE bijbel van de moderne meetkunde.
Het Leerboek van Smirnov handelt hoofdzakelijk over Analyse en richt zich specifiek tot bachelors van de Faculteiten Fysica en Toegepaste Wetenschappen (Ingenieurs). Ook de 2 monografieën van Georgi Chilov Analyse mathématique waren waardevol want een Engelse versie verscheen bij MIT Press respectievelijk onder de titel Elementary Real and Complex Analysis (1973) en Elementary Functional Analysis (1974). Later werden beide boeken door Dover respectievelijk in 1990 en 1992 gepubliceerd en verdeeld.
Andere veel gebruikte monografieën waren van de hand van Nikolaï Efimov en Nikolaï Piskounov en Alekseï Kostrikin (6) en Alexandr Kurosh (7) .
De monografie van Kurosh legt een brug tussen de klassieke algebra en de abstracte algebra en was evenals het boek van Kostrikin bestemd voor bachelors uit de Faculteit Wiskunde. Laatstgenoemd boek behoort ongetwijfeld tot het beste van wat ooit over abstracte of moderne algebra is geschreven.
- « Eléments de calculs numériques » B. Demidovitch et L. Maron (1973)*
- « Eléments de géométrie analytique » N. Efimov (1969)*
- « Cours de Géométrie supérieure » N. Efimov (1981)*
- « Introduction à lAlgèbre » A. Kostrikin (1981)*
- « Cours dAlgèbre supérieur » A. Kurosh (1971)*
- « Calcul Différentiel et Intégral » N. Piskounov (1966)* 867 pages
- « Calcul Différentiel et Intégral -tome II- » N. Pisnoukov (1987)*
- « Equations différentielles ordinaires » L. Pontriaguine (1969)*
- « Analyse mathématique fonctions de plusieurs variables réelles- » G. Chilov (1975)* -english-
- « Théorie mathématique des processus optimaux » L. Pontriaguine et al. (1974)*
- « Théorèmes et Problèmes de lAnalyse fonctionnelle » A. Kirillov (1982)*
- « Cours de Mathématiques supérieures » V. Smirnov
- volume I dérivées et intégrales(1969)*
- volume II équations différentielles(1970)*
- volume IIIA équations algébriques(1970)*
- volume IIIB fonctions(1970)*
- volume IVA(1975)*
- volume IVB(1984)*
- « Equations de la Physique mathématique »S. Godounov (1973)*
- « Méthodes mathématiques de la Mécanique classique » V. Arnold (1976)* -english-
- « Géométrie contemporaine: méthodes et applications » B. Doubrovine, S. Novikov et A. Fomenko(1982)
- Tome 1: « Géométrie de surfaces, des groupes de transformations et des champs »
- Tome 2: « Géométrie et Topologie des Variétés »
- Tome 3: « Méthodes de la Théorie de l'Homologie »
- monografieën handelend over Natuurkunde:
Zeer bekend was hier « Cours de Physique Théorique » van Lev Landau (8) en Evgueni Lifchitz (9) , een oeuvre, dat nog altijd als DE bijbel van de Theoretische Natuurkunde wordt beschouwd. Een Engelse versie (10) van dit monumentale werk verscheen ook bij Pergamon Press (Butterworth- Heinemann).
Van Grigori Landsberg (11) verscheen in 1948-1952 een driedelig zeer populair « Cours élémentaire de Physique », bestemd voor het hoger secundair onderwijs en dat diverse edities kende. De uitgever MIR schrijft over dit werk het volgende:
Le "Cours élémentaire de Physique'', publié pour la première fois en 1948-1952 sous la direction de l'académicien G. Landsberg, fut aussitôt hautement apprécié par les élèves des écoles secondaires, préparant leur baccalauréat. Le succès de cet ouvrage tient surtout au fait qu'il a été conçu par des physiciens éminents qui se sont partagé la tâche d'écrire, chacun dans sa spécialité, une partie de l'ouvrage.
Le premier tome a été conçu par S. Haïkine.M. Issacovitch, M. Léontovitch et D. Sakharov, le tome II, par S. Kalachnikov, et le tome III, par S. Rytov, M. Souchtchinski (avec la collaboration de I. Yakovicv ), F. Landsberg-Barychanskaïa et F. Chapiro. La direction et la rédaction finale de l'ouvrage furent assurées par G. Landsberg (1890-1957), éminent savant et pédagogue.
L'une des caractéristiques marquantes de l'ouvrage est qu'il ne contient que peu de formules et de développements mathématiques, le principal objectif de ses auteurs étant de mettre en évidence la nature des phénomènes physiques. Le niveau de l'exposé, quoique toujours élevé, est cependant parfaitement accessible aux écoliers. Une autre caractéristique de l'ouvrage réside dans le fait que les lois physiques y sont illustrées par un grand nombre d'applications techniques. C'est ce qui distingue ce cours de tous les autres ouvrages du même genre.
Er is bij MIR ook een Engelse versie onder de titel « Elementary Textbook on Physics » (Volumes 1-3, 7th Edition, 1971) beschikbaar.
Het « Cours de Physique Générale » van Dimitri Sivoukhine is van latere datum en bestemd voor bachelors. De oudere versie is praktisch onvindbaar en erg prijzig. MIR voorziet herdrukken maar tegen zeer hoge prijzen.
Thermodynamica bleek in Rusland traditioneel een geliefd werkdomein te zijn. Mikhael Leontovitch en Ivan Bazarov (12) zijn hier de auteurs bij uitstek.
Te vermelden is ook nog het vierdelig vulgarisatiewerk van Lev Landau en Alexandre Kitaïgorodski "La Physique à la portée de tous".
- « Cours élémentaire de Physique » de Grigori Landsberg en 3 tomes:
Tome 1: Mécanique , Chaleur et Physique moléculaire (1985) 591 pages
Tome 2: Electricité et Magnétisme (1987) 440 pages
Tome 3 Vibrations et Ondes, Optique, Physique Atomique et Nucleaire - (1988) 632 pages
- « Cours de Physique Générale » de Dimitri Sivoukhine en 5 volumes
tome 1 Mécanique 552 pages (1982)
tome 2 Thermodynamique et Physique moléculaire 575 pages (1982)
tome 3 Electricité 713 pages (1983)
tome 4 Optique (en deux parties: volume I : 415 pages -1982-volume II 360 pages -1984-)
tome 5 Physique atomique et nucléaire (en deux parties: volume I 447 pages -1986- volume II -410 pages -1986-)
- « Cours de Physique Théorique »:
tome 1: Mécanique L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1969)*
tome 2: Théorie des Champs L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1970)*
tome 3: Mécanique quantique (non relativiste) L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 4A: Théorie quantique relativiste première partie- L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1972)*
tome 4B:Théorie quantique relativiste deuxième partie- E. Lifchitz et L. Pitayeski éditions MIR (1973)*
tome 5 Physique statistique -première partie- L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 6: Mécanique des Fluïdes L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1971)*
tome 7: Théorie de l Elasticité L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1967)*
tome 8: Electrodynamique des milieux continus L. Landau et E. Lifchitz éditions MIR (1969)*
tome 9: Physique Statistique deuxième partie- E. Lifchitz et L. Pitayevski éditions MIR (1990) -english-
tome 10: Cinétique physique E. Lifchitz et L. Pitayevski éditions MIR (1990) -english-
- « Cours de Thermodynamique »:
Introduction à la Thermodynamique- Physique statistique M. Leontovitch (1986)* 432 pages
Thermodynamique I. Bazarov (1989)* 410 pages
Thermodynamique Chimique M. Karapetiantz (1978)* 642 pages
- « Cours de Technologie Physique »:
Physique des semiconducteurs P. Kireev (1975)* 728 pages
- « La Physique à la portée de tous »
- livre 1 "Corps physiques" Lev Landau et Alexandre Kitaïgorodski
- livre 2 "Molécules" Lev Landau et Alexandre Kitaïgorodski (1982)* 130 pages
De monografieën van Nikolai Glinka (1882-1965) over Algemene Scheikunde zijn hoog aangeschreven en bestaan ook in Engelse versie (University Press of the Pacific). Deze editor schrijft het volgende over de auteur:
This textbook (Problems in General Chemistry -2006-) is intended for students who study chemistry independently or by correspondence. It contains over 850 problems and exercises related to various sections of general chemistry. Each chapter begins with sufficient theoretical detail and sample solutions of typical problems which will assist the student in problem solving and in future practical applications. After graduating from Moscow University in 1908 Nikolai Glinka did research for several years under N. D. Zelinsky. But he preferred teaching to research and took his doctorate in that field.
After twelve years teaching chemistry in Podolsk he was transferred to Moscow in 1924 by the People's Commissariat of Education. In 1940 he was appointed Head of the Chair of Inorganic and General Chemistry at the All-Union Polytechnical Correspondence Institute, a post he held to the end of his life. Prof. Glinka's first textbook Inorganic Chemistry, published in 1930, was reprinted five times. General Chemistry first appeared in 1940 and has had fourteen Russian editions. Another textbook by prof. Glinka, widely used in colleges, is Problems in General Chemistry. It has had nineteen Russian editions and has been translated into several languages.
De boeken van V. Alexeev handelen over de eigenlijke chemische analyse, een discipline die, door de opkomst van de spectroscopische technieken, veel aan belang heeft ingeboet. Een herwerkte, aangevulde editie verscheen echter nog in 1980.
- « Chimie générale » N. Glinka
- Tome 1: 383 pages (1981) - Tome 2: 398 pages (1981)
- « Problèmes et Exercices de Chimie Générale » N. Glinka (1986) 238 pages
- « Cours de Chimie Physique » V. Kireev (1975)*
- « Chimie Moderne » L. Nikolaiev (1974)*
- « Principes de la Chimie Physique des processus biologiques » L. Nikolaiëv (1973)*
- « Chimie Minérale » B. Nekrassov (1969)*
- « Chimie Minérale » M. Petrov, L. Mikhilev et Y. Koukouchine (1984)
- « Chimie Organique » B. Pavlov et A. Terentiev (1975)*
- « Réactions chimiques classées par auteur » K. Vatsouro et G. Mitchchenko (1981)*
- « Analyse qualitative » V. Alexeev (1970)*
- « Analyse quantitative » V. Alexeev (1975)*
2° de collectie Schaum van McGraw-Hill
Deze Amerikaanse boekenreeks werd geïntroduceerd in de jaren vijftig door Daniel Schaum (13) , en wordt tot op de dag van vandaag steeds verder uitgebreid. De titel van elk boek begint met Schaum's Outline of Theory and Problems of.. en elk boek is inderdaad een syllabus (d.i. een samenvatting van een college-) maar waaraan een reeks oefeningen of vraagstukken al of niet met oplossing- zijn toegevoegd.
De collectie kende en kent door deze originele formule een enorm succes, mede door het feit dat ze kwaliteit aan lage prijzen paart. Ook werd er bij de herdrukken rekening gehouden met nieuwe pedagogische inzichten of nieuwe technieken zoals het gebruik van de computer of van een (grafische) rekenmachine. Auteurs, die belangrijke bijdragen hebben geleverd tot de collectie zijn Frank Ayres Jr (14) , Seymour Lipschutz (15) en Murray Spiegel (16) .
Oorspronkelijk bevatte de collectie alleen wis- en natuurkundige onderwerpen op het niveau van het hoger secundair. In de jaren zestig werden hieraan ook onderwerpen van het niveau undergraduate (bachelor) toegevoegd. Nog later kwamen nu ook nieuwe onderwerpen bvb in betrekking tot economie, biowetenschappen (genetica, farmacologie.. ), grammatica en computerwetenschappen aan bod. Een verdere recente ontwikkeling van Schaums Outlines was het op de markt komen van Schaums Easy Outlines, die als condensaten van de overeenstemmende Outlines moeten beschouwd worden. Heden zijn sommige Outlines ook als e-book beschikbaar.
De reeks Outlines wordt voorgesteld wordt als zijnde syllabi, dus als supplement-, en niet als een leer- of studieboek (Textbook). In beginsel kunnen deze Outlines het overeenstemmende leerboek niet vervangen. Nochtans zijn er, althans volgens sommige lezers, toch enkele, die evenzeer als textbook kunnen dienen: ik citeer hier Statistics, Discrete Mathematics en Quantum Mechanics.
Ook in Europa verkreeg deze collectie vanaf de jaren zeventig enige vermaardheid en sommige syllabi werden dan ook in het Frans vertaald. Ze waren dan ook in de meeste wetenschappelijke boekhandels te vinden. De collectie Schaum werd en was van dit ogenblik voor mij een onmisbare partner, zowel bij mijn doctorale studie als bij mijn professionele activiteiten.
Een volledig overzicht van de huidige collectie vindt men op de website:
De blogs "Science & Bioscience" handelen over basiswetenschappen (natuur- en scheikunde inclusief wiskunde), geo- en astrowetenschappenen tenslotte biowetenschappen (plant- en dierkunde inclusief de dynamische aspecten) zoals zij vroeger d.i. meer dan vijftig jaar geleden, in het onderwijs (lager, middelbaar,bachelor en masteronderwijs) voorgeschoteld werden. De URL- adressen van deze blogs zijn de volgende :
Zoals de titel "Science & Bioscience an alternative point of view-" het aangeeft, handelen deze blogs wel degelijk over wetenschap en biowetenschap. Er worden hierbij soms standpunten ingenomen, die enigzins afwijken van de orthodoxe, officiële visie of versie. In tegenstelling met wat de goegemeente meent, zijn vele wetenschappers het veelal niet eens met deze officiële visie. Maar zij moeten zwijgen om den brode.
De bedoeling van deze blogs is nu ook eens deze andere visie aan bod te laten komen. Dit gebeurt dan op basis van eigen bevindingen en levenservaringen. Deze omvatten een halve eeuw intense bedrijvigheid op het vlak van zowel basiswetenschappen als biowetenschappen. Dit alles wordt dan gepresenteerd met een vleugje humor maar ook met een scheutje echte, onvervalste wetenschap.
Leidraad en achtergrond
De wetenschappelijke materie, die in blog III en blog IV aan de orde komt, sluit natuurlijkerwijze aan bij deze behandeld in blog II (secundair onderwijs). Zij omvat dan ook dezelfde grote themas wiskunde, natuurkunde en scheikunde evenals de bio- geo- en astro- wetenschappen maar dan op universitair vlak (bachelor respectievelijk master niveau). Bij mijn uiteenzetting heb ik dezelfde didactische spiraal als in het universitair onderwijs gevolgd, waardoor het geheel wellicht veel begrijpelijker wordt. Waar nodig heb ik verwezen naar de diverse hand- en studieboeken, die in het universitair onderwijs gebruikt of aangeprezen werden (worden). De bestemming d.i. het doelpubliek (bachelor B1, B2, B3-, master M1, M2-), undergraduate (freshman, sophomore, junior, senior-), graduate, of premier, deuxième, troisième cycle volgens het Franse systeem) van deze handboeken mag hierbij nooit uit het oog verloren worden en is natuurlijk van groot belang. Een gedegen kennis van de onderwijsstructuur van het land, waar het boek voor het eerst verscheen, is hierbij onontbeerlijk en erg belangrijk.
Deze onderwijsstructuur evenals de leerprogrammas van het universitair onderwijs hebben in de loop der jaren een grote wijziging ondergaan, wat de lezer in verwarring kan brengen. Voor wat de onderwijsstructuur betreft is in België (maar ook in 46 andere landen) sinds Bologna de zogenaamde BachelorMaster (BAMA) structuur van kracht, terwijl bvb tot op het einde van de vorige eeuw in België bvb de KandidatuurLicentie (KALI) structuur, in Frankrijk bvb de Licence Maitrise (LIMA) structuur van toepassing was.
In Frankrijk stemde de Licence dus overeen met de Kandidatuur in België en de Maitrise met wat in België de Licentie heette. Ook nu worden de bachelor-jaren (B1, B2, B3) in Frankrijk nog altijd als Licentie-jaren (L1, L2, L3) betiteld. In de Verenigde staten heeft men dan weer de bekende undergraduate/graduate structuur. Ook voor wat de Doctoraat- studie betreft, waren en zijn er tussen de verschillende landen en i.h.b. tussen Europa en de Verenigde Staten grote verschillen. In Europa is de doctorstitel verbonden aan een oorspronkelijk proefschrift. Het volstaat hier even te verwijzen naar een aantal bronnen:
Voor wie niet met voornoemde onderwijsstructuren vertrouwd is, zijn bovenstaande verwijzingen een "must".
Inhoudsopgave
Blog IV ligt natuurlijk in het verlengde van blog III en omvat in de eerste plaats een bespreking van de masterleergangen specifiek voorzien voor de toekomstige apotheker (pharmacognosie, pharmacologie, toxicologie, bromatologie, medische biochemie, pharmaceutische technologie...). Deze masterleergangen sluiten rechtstreeks aan op de algemene bachelorcursussen wiskunde, natuurkunde, scheikunde, plantkunde, dierkunde en geologie. Blog IV bevat echter ook de fundamentele bachelorcursussen wiskunde, natuurkunde, scheikunde en biologie, die noodzakelijk zijn voor een meer grondige studie van deze masterleergangen.
Zoals ieder boek, dat zichzelf respecteert, heeft ook dit blog zijn eigen inhoudstafel, die weergegeven wordt door het archief, dat zich links bovenaan het blog bevindt (linkerkolom). Dit archief omvat de diverse paragrafen of cursiefjes van het blog en wel in dalende chronologische volgorde d.i. het meest recente cursiefje bovenaan. In de tekstkolom van het blog zijn de cursiefjes, zoals bij een leesboek,echter in stijgende chronologische gerangschikt, zodat men dit blog ook kan lezen als een normaal leesboek, door gewoon naar beneden te "scrollen". Onderaan elk cursiefje vindt men een aantal bijlagen, die men kan aanklikken.
Het is ook mogelijk dit blog cursiefje per cursiefje te lezen door het archief te gebruiken. Aanklikken van een paragraaf in het archief plaatst het aangeklikt cursiefje onmiddellijk bovenaan de tekstkolom. Om een anderuitgekozen cursiefje te lezen, zal men dit aanklikken in het archief, waardoor nu dit laatste cursiefje bovenaan de tekstkolom staat. Deze leesmethode komt overeen met het doorbladeren van een leesboek, waarbij men de diverse hoofdstukken of rubrieken in een zelf gekozen orde leest.
Teneinde het de lezer gemakkelijk te maken werd iedere paragraaf door een specifiek volgnummer aangeduid bvb §2.3 wijst op het derde cursiefje van hoofdstuk 2.
Voor dit specifieke blog "Science & Bioscience (IV) "zijn volgende hoofdstukken en cursiefjes gepland:
Hoofdstuk 1 In een stroomversnelling
§1.1 Kennismaking met de campus Solbosch §1.2 Kennismaking met de campus Rhode §1.3 Kennismaking met de campus Sart-Tilman
Hoofdstuk 2 Pharmacognosie
§2.1 Over het ontstaan der Pharmacie §2.2 Pharmacognosie met Trease en Evans (drogenanalyse) §2.2 Materia Medica met Paris en Moyse §2.3 Het college van H. Wachsmuth §2.5 Pharmacognosie met Bruneton
Hoofdstuk 3 Pharmacologie
§3.1 Wat is Pharmacologie? §3.2 Pharmacologie met Heymans en Simonart §3.3 Pharmacologie met Valette §3.4 Het college van Vanden driessche §3.5 Pharmacologie met Schorderet
Hoofdstuk 4 Toxicologie
§4.1 Wat is Toxicologie? §4.2 Gerechtelijke Toxicologie met Kohn-Abrest §4.2 Gerechtelijke Toxicologie met Fabre en Truhaut §4.3 Algemene Toxicologie met Marquardt en Schäfer §4.4 Het college van H. Wachsmuth
Hoofdstuk 5 Bromatologie
§5.1 Wat is Bromatologie §5.2 Bromatologie volgens René Vivario §5.3 Bromatologie volgens Jacotot en Le Parco §5.4 Het college van H. Wachsmuth
Hoofdstuk 6 Medische of Klinische Biochemie
§6.1 Wat is Medische Biochemie? §6.2 Medische Biochemie volgens Polonovski §6.3 Medische Biochemie met Courtois en Perlès §6.4 Het college van H. Wachsmuth (gorter)
Hoofdstuk 7 Galenica ofte Farmaceutische Technologie
§7.1 Wat is Galenica §7.2 Galenica met Lefebure §7.3 Galenica met Denoël en Jaminet §7.4 Het college van R. De Nève
Hoofdstuk 8 Over Boekenreeksen en uitgevers
§8.1 Boekenreeksen van MIR en Schaum §8.2 Boekenreeksen van Dover en Dunod
Hoofdstuk 9 Fundamentele Wiskunde voor bachelors (seniors)
§9.1 Kennismaking met de Fundamentele of Hogere Wiskunde §9.2 Arithmetiek met Fred Schuh §9.3 Hogere Algebra met Fred Schuh (I) §9.4 Het Onmeetbare Getal met Fred Schuh §9.5 Hogere Algebra met Fred Schuh (II) §9.4 Meetkunde met Fred Schuh §9.5 Analyse met Fred Schuh §9.6 Fundamentele of Hogere Wiskunde met Vladimir Smirnov (I) §9.7 Fundamentele of Hogere Wiskunde met Vladimir Smirnov (II) §9.8 Hogere Wiskunde met Murray Spiegel §9.9 Hogere Analyse met Pisnoukov en Pontriaguine §9.10 Hogere Algebra met Alexandre Kurosh §9.11 Een overzicht van de Hogere Wiskunde met Richard Courant
Hoofdstuk 10 Fundamentele Natuurkunde voor bachelors (seniors)
§10.1 Kennismaking met de Fundamentele Natuurkunde (Alonso en Finn) §10.2 Fundamente Natuurkunde met Richard Feynman §10.3 Fundamentele Natuurkunde volgens Berkeley University §10.4 Natuurkunde volgens Sivoukhine §10.5 Op de schouders van Reuzen... §10.6 Celestial Mechanics met Ryabov §10.6 Een globaal overzicht met Bayman en Hamermesh
Hoofdstuk 11 Fundamentele Scheikunde voor bachelors (seniors)
§11.1 Fundamentele Scheikunde met Lev Nikolaëv §11.2 Physische Scheikunde met Mcquarrie §11.3 Anorganische Scheikunde met Wilkinson §11.4 Organische Scheikunde met March §11.6 Physische Scheikunde met Pannetier en Souchay §11.7 Anorganische Scheikunde met Michel en Bénard §11.8 Organische Scheikunde met Normant
Hoofdstuk 12 Fundamentele Biologie voor bachelors (seniors)
§12.1 geschiedenis van de biologie (vignais) §12.2 een physische basis voor de levende materie (ling) §12.3 ontdekking van de DNA-structuur(olby) §12.4 life's other secret met ian stewart §12.5 fundamentele biologie met campbell §12.6 moleculaire biologie met lodish (blog V) §12.7 moleculaire biologie met watson (blog V) §12.8 gènes (blog V) §12.9 Dynamische Biologie??
Blog IV is een verdere en logische voortzetting van blog III en omvat, behalve enkele typisch farmaceutische disciplines, dezelfde grote hoofdstukken Wiskunde, Natuurkunde en Scheikunde. Alleen wordt hier wat meer fundamenteel op deze materie ingegaan. Vandaar de hoofdstukken Fundamentele of Hogere Wiskunde, Fundamentele Natuurkunde en Fundamentele Scheikunde. Voornoemde hoofdstukken zijn wel te onderscheiden van de overeenkomstige hoofdstukken Algemene Wiskunde, Algemene Natuurkunde en Algemene Scheikunde, die in blog III behandeld werden.
